∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [inst : CommRing R] [inst_1 : AddCommGroup M]
  [inst_2 : Module R M] [inst_3 : AddCommGroup N] [inst_4 : Module R N] (P : RootPairing ι R M N) (S : Type u_6)
  [inst_5 : CommRing S] [inst_6 : Algebra S R] [inst_7 : Module S M] [IsScalarTower S R M] [P.IsValuedIn S] {x : M},
  x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑P.root) → ∀ (i : ι), (P.coroot' i) x ∈ Set.range ⇑(algebraMap S R)