∀ {V : Type u_1} {P : Type u_2} [inst : NormedAddCommGroup V] [inst_1 : InnerProductSpace ℝ V] [inst_2 : MetricSpace P]
  [inst_3 : NormedAddTorsor V P] {n : ℕ} [inst_4 : NeZero n] {s : Affine.Simplex ℝ P n} {signs : Finset (Fin (n + 1))},
  s.ExcenterExists signs →
    ∀ {i : Fin (n + 1)} {p : P},
      (s.exsphere signs).IsTangentAt p (affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)) ↔ p = s.touchpoint signs i