∀ {S : Type u_5} [inst : Semiring S] {M : Type u_7} [inst_1 : AddCommGroup M] [inst_2 : Module S M] {q : M →ₗ[S] M},
  IsIdempotentElem q →
    ∀ {E : Type u_8} [inst_3 : AddCommGroup E] [inst_4 : Module S E] (p : M →ₗ[S] E), p ∘ₗ q = p ↔ q.ker ≤ p.ker