∀ {R : Type u_1} {E : Type u_6} {ι : Type u_9} [inst : SeminormedRing R] [inst_1 : AddCommGroup E] [inst_2 : Module R E]
  (p : SeminormFamily R E ι) {U : Set E}, (U ∈ p.basisSets) = ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r