# 第二十六章 反比例函数
同一条铁路线上, 由于不同车次列车运行时间有长有短, 所以它们的平均速度有快有慢. 由 $s=v t$ 可知, 在路程 $s$ 一定的前提下, 平均速度 $v$ 与运行时间 $t$ 成反比例. 从函数角度看, 平均速度 $v$ 随运行时间 $t$ 的变化而变化的规律, 可表示为 $v=\frac{s}{t}$ ( $s$ 为常数), 这类函数就是本章要研究的反比例函数.
与研究一次函数、二次函数类似, 我们将在反比例函数定义的基础上, 研究反比例函数的图象和性质, 并运用反比例函数解决一些实际问题.
## 26.1 反比例函数
## 26.1.1 反比例函数
## 思考
下列问题中, 变量间具有函数关系吗? 如果有, 它们的解析式有什么共同特点?
(1)京沪线铁路全程为 $1463 \mathrm{~km}$, 某次列车的平均速度 $v$ (单位: $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ) 随此次列车的全程运行时间 $t$ (单位: $\mathrm{h}$ ) 的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一块面积为 $1000 \mathrm{~m}^{2}$ 的矩形草坪, 草坪的长 $y$ (单位: $\mathrm{m}$ ) 随宽 $x$ (单位: $\mathrm{m}$ ) 的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为 $1.68 \times 10^{4} \mathrm{~km}^{2}$, 人均占有面积 $S$ (单位: $\mathrm{km}^{2}$ /人) 随全市总人口 $n$ (单位: 人) 的变化而变化.
问题(1)中, 有两个变量 $t$ 与 $v$, 当一个量 $t$ 变化时, 另一个量 $v$ 随着它的变化而变化, 而且对于 $t$ 的每一个确定的值, $v$ 都有唯一确定的值与其对应. 问题 (2) (3) 也一样. 所以这些变量间具有函数关系, 它们的解析式分别为
$$
v=\frac{1463}{t}, y=\frac{1000}{x}, S=\frac{1.68 \times 10^{4}}{n} \text {. }
$$
上述解析式都具有 $y=\frac{k}{x}$ 的形式, 其中 $k$ 是非零常数.
一般地, 形如 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数, $k \neq 0)$ 的函数, 叫做反比例函数 (inverse proportional function), 其中 $x$ 是自变量, $y$ 是函数. 自变量 $x$ 的取值范围是在 $y=\frac{k}{x}$ 中,自变量 $x$ 是分式 $\frac{k}{x}$ 的分母, 当 $x=0$ 时, 分式 $\frac{k}{x}$ 无意义. 不等于 0 的一切实数.
例如, 在上面的问题(1)中, 当路程一定 (1 $463 \mathrm{~km}$ ) 时, $v=\frac{1463}{t}$ 表示速度 $v$ 是时间 $t$ 的反比例函数, 当 $t$ 取每一个确定的值时, $v$ 都有唯一确定的值与其对应.
在 $y=\frac{k}{x}$ 中，自变；量x是分式 $\frac{k}{x}$ 的分母，当 x=0 时，分式 $\frac{k}{x}$ 无意义。
$例1$ 已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数, 并且当 $x=2$ 时, $y=6$.
(1) 写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式;
(2) 当 $x=4$ 时, 求 $y$ 的值.
$分析:$ 因为 $y$ 是 $x$ 的反比例函数, 所以设 $y=\frac{k}{x}$. 把 $x=2$ 和 $y=6$ 代入上式, 就可求出常数 $k$ 的值.
$解:$ (1) 设 $y=\frac{k}{x}$. 因为当 $x=2$ 时, $y=6$, 所以有
解得
$$
\begin{aligned}
6 & =\frac{k}{2} . \\
k & =12 . \\
y & =\frac{12}{x} .
\end{aligned}
$$
因此
(2)把 $x=4$ 代人 $y=\frac{12}{x}$, 得
$$
y=\frac{12}{4}=3
$$
## 练习
1.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
(1)一个游泳池的容积为 $2000 \mathrm{~m}^{3}$, 游泳池注满水所用时间 $t$ (单位: h) 随注水速度 $v$ (单位: $\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}$ ) 的变化而变化;
(2)某长方体的体积为 $1000 \mathrm{~cm}^{3}$, 长方体的高 $h$ (单位: $\mathrm{cm}$ ) 随底面积 $S$ (单位: $\left.\mathrm{cm}^{2}\right)$ 的变化而变化;
(3)一个物体重 $100 \mathrm{~N}$, 物体对地面的压强 $p$ (单位: Pa)随物体与地面的接触面积 $S$ (单位: $\mathrm{m}^{2}$ ) 的变化而变化.
2.下列哪些关系式中的 $y$ 是 $x$ 的反比例函数?
$$
y=4 x, \frac{y}{x}=3, y=-\frac{2}{x}, y=6 x+1, y=x^{2}-1, y=\frac{1}{x^{2}}, x y=123 .
$$
3.已知 $y$ 与 $x^{2}$ 成反比例, 并且当 $x=3$ 时, $y=4$.
(1)写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式;
(2) 当 $x=1.5$ 时, 求 $y$ 的值;
(3) 当 $y=6$ 时, 求 $x$ 的值.
## 26.1.2 反比例函数的图象和性质
我们知道, 一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象是一条直线, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象是一条抛物线. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数, $k \neq 0$ ) 的图象是什么样呢? 我们用 “描点” 的方法, 画出反比例函数的图象, 并利用图象研究反比例函数的性质.
我们先研究 $k>0$ 的情形.
$例2$ 画出反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 与 $y=\frac{12}{x}$ 的图象.
$解:$ 列表表示几组 $x$ 与 $y$ 的对应值 (填空)：
| $x$ | $\cdots$ | -12 | -6 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\frac{6}{x}$ | $\cdots$ |  |  | -1.5 | -2 |  |  | 6 |  | 2 |  | 1 |  | $\cdots$ |
| $y=\frac{12}{x}$ | $\cdots$ | -1 | -2 |  | -4 | -6 |  | 12 |  | 4 | 3 |  | 1 | $\cdots$ |
你还记得如何用 “描，点"的方法画此函数的图象吗？
描点连线：以表中各对对坙值为坐标，㨅出各点，并用平清的曲线顺㳄连接这些点，就得到函数 $y = \frac{6}{x}$ 与 $y = \frac{12}{x}$ 的图像 (图 26.1-1).
利用信息技术工具，可以很容易地画出反比例函数的图象.
图 26. 1-1
## 思考
观察反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 与 $y=\frac{12}{x}$ 的图象, 回答下面的问题:
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限?
(2)在每一个象限内, 随着 $x$ 的增大, $y$ 如何变化? 你能由它们的解析式说明理由吗?
(3)对于反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$, 考滤问题 $(1)(2)$, 你能得出同样的结论吗？
一般地，当 $k>0$ 时，对于反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ， 由函数图象 (图 26.1-2), 并结合解析式, 我们可以发现：
(1)函数图象分别位于第一、第三象限；
(2)在每个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而椷小.
当 $k<0$ 时, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象和性质是出样的呢?
一般地，当 $k<0$ 时， 对于反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ ， 由函数图象 (图 26.1-3), 并结合解析式, 我们可以发现:
(1)函数图象分别位于第二、第四象限；
(2)在每一个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
反比例函数的图象由两条曲线组成, 它是双曲线.
你能由函数的解析式说明这些结论吗?
图 26.1-2
图 26.1-3
## 探究
回顾上面我们利用函数图象,从特殊到一般研究反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ $(k>0)$ 的性质的过程, 你能用类似的方法研究反比例函数 $y=\frac{k}{x} \quad(k<0)$ 的图象和性质吗?
## 归纳
一般地, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象是双曲线, 它具有以下性质：
(1) 当 $k>0$ 时, 双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而减小;
(2) 当 $k<0$ 时, 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
## 练习
1.(1)下列图象中是反比例函数图象的是 $(\quad)$.
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 如图所示的图象对应的函数解析式为 $(\quad)$.
(A) $y=5 x$
(B) $y=2 x+3$
(C) $y=\frac{4}{x}$
(D) $y=-\frac{3}{x}$
(第 1 (2) 题)
2. 填空:
(1)反比例函数 $y=\frac{5}{x}$ 的图象在第__象限.
(2)反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象如图所示, 则 $k \ldots 0$; 在图象的每一支上, $y$ 随 $x$ 的增大而例 3 已知反比例函数的图象经过点 $A(2,6)$.
(第 $2(2)$ 题)
$例3$ 已知反比例函数的图像经过点 A(2,6)
(1) 这个函数的图象位于哪些象限? $y$ 随 $x$ 的增大如何变化?
(2) 点 $B(3,4), C\left(-2 \frac{1}{2},-4 \frac{4}{5}\right), D(2,5)$ 是否在这个函数的图象上?
$解：$(1)因为点 $A(2,6)$ 在第一象限, 所以这个函数的图象位于第一、 第三象限, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}$, 因为点 $A(2,6)$ 在其图象上, 所以点 $A$ 的坐标满足 $y=\frac{k}{x}$, 即
解得
$$
\begin{aligned}
& 6=\frac{k}{2}, \\
& k=12 .
\end{aligned}
$$
所以, 这个反比例函数的解析式为 $y=\frac{12}{x}$. 因为点 $B, C$ 的坐标都满足 $y=\frac{12}{x}$, 点 $D$ 的坐标不满足 $y=\frac{12}{x}$, 所以点 $B, C$ 在函数 $y=\frac{12}{x}$ 的图象上, 点 $D$ 不在这个函数的图象上.
这里是用待定系数法求反比例函数的解析式.
$例4$ 如图 26.1-4, 它是反比例函数 $y=\frac{m-5}{x}$ 图象的一支. 根据图象, 回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限? 常数 $m$ 的取值范围是什么?
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 $A\left(x_{1}\right.$, $\left.y_{1}\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 如果 $x_{1}>x_{2}$, 那么 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 有怎样的大小关系?
解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限, 或者位于第二、第四象限. 因为这个函数的图象的一支位于第一象限, 所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限, 所以
解得
$$
m-5>0,\\
m>5 .
$$
(2) 因为 $m-5>0$, 所以在这个函数图象的任一支上, $y$ 都随 $x$ 的增大而减小, 因此当 $x_{1}>x_{2}$ 时, $y_{1}<y_{2}$.
图 26.1-4
## 练习
1.已知一个反比例函数的图象经过点 $A(3,-4)$.
(1) 这个函数的图象位于哪些象限? 在图象的每一支上, $y$ 随 $x$ 的增大如何变化?
(2) 点 $B(-3,4), C(-2,6), D(3,4)$ 是否在这个函数的图象上?为什么?
2.已知点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上. 如果 $x_{1}<x_{2}$, 而且 $x_{1}, x_{2}$ 同号, 那么 $y_{1}, y_{2}$ 有怎样的大小关系? 为什么?
## 习题 26.1
## 复习巩固
1.写出函数解析式表示下列关系, 并指出它们各是什么函数:
(1) 体积是常数 $V$ 时, 圆柱的底面积 $S$ 与高 $h$ 的关系;
(2) 柳树乡共有耕地 $S$ (单位: $\mathrm{hm}^{2}$ ), 该乡人均耕地面积 $y$ (单位: $\mathrm{hm}^{2}$ /人) 与全乡总人口 $x$ 的关系
2.下列函数中是反比例函数的是 $(\quad)$.
(A) $y=\frac{x}{2}$
(B) $y=-\frac{\sqrt{5}}{3 x}$
(C) $y=x^{2}$
(D) $y=\frac{2}{x+1}$
3.填空:
(1) 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象如图 (1) 所示, 则 $k \_0$, 在图象的每一支上, $y$ 随 $x$ 的增大而
(2) 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象如图 (2) 所示, 则 $k \_0$, 在图象的每一支上, $y$ 随 $x$ 的增大而
(3) 若点 $(1,3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, 则 $k=$ , 在图象的每一支上, $y$ 随 $x$ 的增大而
(1)
(2)
(符 3 题)
4.如果 $y$ 是 $x$ 的反比例函数, 那么 $x$ 也是 $y$ 的反比例函数吗?
## 综合运用
5.正比例函数 $y=x$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有一个交点的纵坐标是 2 .
(1)当 $x=-3$ 时, 求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的值;
(2)当 $-3<x<-1$ 时, 求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的取值范围.
6.如果 $y$ 是 $z$ 的反比例函数, $z$ 是 $x$ 的反比例函数, 那么 $y$ 与 $x$ 具有怎样的函数关系?
7.如果 $y$ 是 $z$ 的反比例函数, $z$ 是 $x$ 的正比例函数, 且 $x \neq 0$, 那么 $y$ 与 $x$ 具有怎样的函数关系?
## 拓广探索
8.在同一直角坐标系中, 函数 $y=k x$ 与 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象大致是 $(\quad)$.
(A) (1) (2)
(B) (1) (3)
(C) (2) (4)
(D) (3) (4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(第 8 题)
9.已知反比例函数 $y=\frac{w-\sqrt{2}}{x}$ 的图象的一支位于第一象限.
(1)图象的另一支位于哪个象限? 常数 $w$ 的取值范围是什么?
(2) 在这个函数图象上任取,点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 和 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 如果 $y_{1}>y_{2}$, 那么 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 有怎样的大小关系?
## 信息技术应用
$$
\text{ 探索反比例函数的性质 }
$$
同学们, 我们已经学会了用“描点”的方法画反比例函数的图象, 如果描出的点越多, 那么画出的函数图象就越准确. 利用计算机可以画出精确度很高的反比例函数的图象, 而且画图的速度也非常快.
图 1 就是用计算机中的制图软件画出的反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象.
制图软件不但能帮助我们画出反比例函数的图象，而且能栔助我们研究反比例函数的性质.
如图 2, 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上选定 $A(1,1), B(-1,-1)$ 两点, 过 $A, B$ 两点作一条直线, 即正比例函数 $y=x$ 的图象.
如图 3 , 把直线 $y=x$ 选定为对称轴. 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上任意选取一点 $C$, 再作点 $C$ 关于直线 $y=x$ 的对称点 $C^{\prime}$. 可以看出, 对称点 $C^{\prime}$ 也在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上. 对比点 $C$ 和点 $C^{\prime}$ 的坐标, 看一看它们有什么关系. 当拕动点 $C$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象
上运动时, 可以看到点 $C^{\prime}$ 也在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上运动.
通过上述的观察, 可以发现, 反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称. 反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称吗?
一舧地, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象既关于直线 $y=x$ 对称, 又关于直线 $y=-x$ 对称. 在同一直角坐标系中, 画出 $k=1,2,3,4,5,6$ 时反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象, 可以得到如图 4 所示的图象.
把 $k=-1,-2,-3,-4,-5,-6$ 时反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象画在同一直角坐标系中, 就可以得到如图 5 所示的图象.
从图 4 和图 5 中的图象你还能发现什么规律? 在同一直角坐标系中, 随着 $|k|$ 的增大, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象的位置相对于坐标原点是越来越远还是越来越近?
图 1
图 2
降 3
图 4
图 5
## 26.2 实际问题与反比例函数
前面我们结合实际问题讨论了反比例函数, 看到了反比例函数在分析和解决实际问题中的作用. 下面我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.
$例1$ 市煤气公司要在地下修建一个容积为 $10^{4} \mathrm{~m}^{3}$ 的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 $S$ (单位: $\mathrm{m}^{2}$ ) 与其深度 $d$ (单位: $m$ ) 有怎样的函数关系?
(2) 公司决定把储存室的底面积 $S$ 定为 $500 \mathrm{~m}^{2}$ ，施工队施工时应该向地下掘进多深?
(3)当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 $15 \mathrm{~m}$ 时, 公司临时改变计划, 把储存室的深度改为 $15 \mathrm{~m}$. 相应地, 储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)?
$解:$ (1) 根据圆柱的体积公式, 得
$$
S d=10^{4},
$$
所以 $S$ 关于 $d$ 的函数解析式为
$$
S=\frac{10^{4}}{d}
$$
(2)把 $S=500$ 代人 $S=\frac{10^{4}}{d}$, 得
$$
500=\frac{10^{4}}{d}
$$
解得
$$
d=20(\mathrm{~m}) .
$$
如果把储存室的底面积定为 $500 \mathrm{~m}^{2}$, 施工时应向地下掘进 $20 \mathrm{~m}$ 深.
(3)根据题意, 把 $d=15$ 代人 $S=\frac{10^{4}}{d}$, 得
$$
S=\frac{10^{4}}{15}
$$
解得
$$
S \approx 666.67\left(\mathrm{~m}^{2}\right) \text {. }
$$
当储存室的深度为 $15 \mathrm{~m}$ 时, 底面积应改为 $666.67 \mathrm{~m}^{2}$.
$例2$ 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物, 装载完毕恰好用了 8 天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 $v$ (单位: 吨/天)与卸货天数 $t$ 之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况, 要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕, 那么平均每天至少要卸载多少吨?
$分析：$ 根据 “平均装货速度装货天数=货物的总量”, 可以求出轮船装載货物的总量; 再根据 “平均卸货速度 =货物的总量 $\div$ 卸货天数”, 得到 $v$ 关于 $t$ 的函数解析式.
$解：$(1)设轮船上的货物总量为 $k$ 吨，根据已知条件得
$$
k=30 \times 8=240 \text {, }
$$
所以 $v$ 关于 $t$ 的函数解析式为
$$
v=\frac{240}{t}
$$
(2) 把 $t=5$ 代人 $v=\frac{240}{t}$, 得
$$
v=\frac{240}{5}=48 \text { (吨/天). }
$$
从结果可以看出, 如果全部货物恰好用 5 天卸载完, 那么平均每天卸载 48 吨. 对于函数 $v=\frac{240}{t}$, 当 $t>0$ 时, $t$ 越小, $v$ 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完, 则平均每天至少要卸载 48 吨.
公元前 3 世纪, 古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比, 则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为 “杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为:
阻力 $\times$ 阻力臂 $=$ 动力 $\times$ 动力臂 (图 26.2-1).
$例3$ 小伟欲用捧棍抙动一块大石头, 已知阻力和阻力臂分别为 $1200 \mathrm{~N}$ 和 $0.5 \mathrm{~m}$.
(1) 动力 $F$ 与动力臂 $l$ 有怎样的函数关系? 当动力臂为 $1.5 \mathrm{~m}$ 时, 抙动石头至少需要多大的力?
(2) 若想使动力 $F$ 不超过题(1) 中所用力的一半, 则动力臂 $l$ 至少要加长多少?
$解：$(1)根据 “杠杆原理”, 得
$$
F l=1200 \times 0.5,
$$
所以 $F$ 关于 $l$ 的函数解析式为
$$
F=\frac{600}{l}
$$
当 $l=1.5 \mathrm{~m}$ 时,
$$
F=\frac{600}{1.5}=400(\mathrm{~N})
$$
对于函数 $F=\frac{600}{l}$, 当 $l=1.5 \mathrm{~m}$ 时, $F=400 \mathrm{~N}$, 此时杠杆平衡. 因此, 捙动石头至少需要 $400 \mathrm{~N}$ 的力.
(2) 对于函数 $F=\frac{600}{l}, F$ 随 $l$ 的增大而减小. 因此, 只要求出 $F=200 \mathrm{~N}$ 时对应的 $l$ 的值, 就能确定动力臂 $l$ 至少应加长的量.
当 $F=400 \times \frac{1}{2}=200$ 时, 由 $200=\frac{600}{l}$ 得
$$
\begin{aligned}
& l=\frac{600}{200}=3(\mathrm{~m}), \\
& 3-1.5=1.5(\mathrm{~m}) .
\end{aligned}
$$
对于函数 $F=\frac{600}{l}$, 当 $l>0$ 时, $l$ 越大, $F$ 越小. 因此, 若想用力不超过 $400 \mathrm{~N}$ 的一半, 则动力臂至少要加长 $1.5 \mathrm{~m}$.
电学知识告诉我们, 用电器的功率 $P$ (单位: $\mathrm{W}$ )、两端的电压 $U$ (单位: $\mathrm{V}$ ) 及用电器的电阻 $R$ (单位: $\Omega$ ) 有如下关系: $P R=U^{2}$. 这个关系也可写为 $P=$ ，或 $R=$
用反比例函数的知识解释: 在我们使用厡棍时，为什么动力憵越长就越省力?
$例4$ 一个用电器的电阻是可调节的, 其范围为 $110 \sim 220 \Omega$. 已知电压为 $220 \mathrm{~V}$, 这个用电器的电路图如图 26. 2-2 所示.
(1) 功率 $P$ 与电阻 $R$ 有怎样的函数关系?
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
$解：$ (1) 根据电学知识, 当 $U=220$ 时, 得
$$
P=\frac{220^{2}}{R} .
$$
(2) 根据反比例函数的性质可知, 电阻越大, 功率越小. 把电阻的最小值 $R=110$ 代人(1)式, 得到功率的最大值
$$
P=\frac{220^{2}}{110}=440(\mathrm{~W}) \text {; }
$$
把电阻的最大值 $R=220$ 代人(1)式, 得到功率的最小值
$$
P=\frac{220^{2}}{220}=220(\mathrm{~W}) .
$$
因此用电器功率的范围为 $220 \sim 440$ W.
结合例 4 , 想一想，为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?
给我一个支点, 我可以䅕动地球！ —阿基米徳
图 26.2-1
图 26.2-2
## 练习
1.如图, 某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 $1 \mathrm{~L}$ (1 $\mathrm{L}=$ $1 \mathrm{dm}^{3}$ ) 的圆锥形漏斗.
(1) 漏斗口的面积 $S$ (单位: $\mathrm{dm}^{2}$ ) 与淈斗的深 $d$ (单位: $\mathrm{dm}$ ) 有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗口的面积为 $100 \mathrm{~cm}^{2}$, 那么漏斗的深为多少?
2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地, 他以 $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的平均速度用 $6 \mathrm{~h}$ 到达目的地.
(1) 当他按原路匀速返回时, 汽车的速度 $v$ 与时间 $t$ 有怎样的函数关系?
(2) 如果该司机必须在 $4 \mathrm{~h}$ 之内回到甲地, 那么返程时的平均速度不能小于多少?
(第 1 题)
3.新建成的住宅楼主体工程已经竣工, 只剩下楼体外表面需要贴瓷砖. 已知楼体外表面的面积为 $5 \times 10^{3} \mathrm{~m}^{2}$.
(1) 所需的瓷砖块数 $n$ 与每块瓷砖的面积 $S$ (单位： $\mathrm{m}^{2}$ ) 有怎样的函数关系?
(2) 为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的垐砖， 每块瓷砖的面积都是 $80 \mathrm{~cm}^{2}$, 且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为 $2: 2: 1$, 需要三种瓷砖各多少块?
## 习题 26.2
## 复习巩固
1. 请举出一个生活中应用反比例函数的例子.
2. 某农业大学计划修建一块面积为 $2 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{2}$ 的矩形试验田.
(1)试验田的长 $y$ (单位: $\mathrm{m}$ ) 关于宽 $x$ (单位: $\mathrm{m}$ )的函数解析式是什么?
(2)如果试验田的长与宽的比为 $2: 1$, 那么试验田的长与宽分别为多少?
3. 小㧪家用购电卡购买了 $1000 \mathrm{~kW} \cdot \mathrm{h}$ 电, 这些电能㿟使用的天数 $m$ 与小艳家平均每天的用电度数 $n$ 有怎样的函数关系? 如果平均每天用 $4 \mathrm{~kW} \cdot \mathrm{h}$ 电, 这些电可以用多长时间?
4. 已知经过闭合电路的电流 $I$ (单位: A) 与电路的电阻 $R$ (单位： $\Omega$ )是反比例函数关系, 请填下表(结果保留小数点后两位)：
| $I / \mathrm{A}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |  |  |  |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $R / \Omega$ |  |  |  |  | 20 | 25 | 30 | 50 | 65 | 80 | 9 |
5. 已知甲、乙两地相距 $s$ (单位： $\mathrm{km}$ ), 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 则汽车行驶的时间 $t$ (单位： $\mathrm{h}$ ) 关于行驶速度 $v$ (单位： $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ) 的函数图象是 $(\quad)$.
(A)
(B)
(C)
(D)
(第 5 题)
## 综合运用
6. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳, 当容器的体积 $V$ (单位: $\mathrm{m}^{3}$ ) 变化时, 气体的密度 $\rho$ (单位: $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$ ) 随之变化. 已知密度 $\rho$ 与体积 $V$ 是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1) 求密度 $\rho$ 关于体积 $V$ 的函数解析式;
(2) 当 $V=9 \mathrm{~m}^{3}$ 时, 求二咕化碳的密度 $\rho$.
(第 6 题)
7. 红星粮库需要把晾晒场上的 $1200 \mathrm{t}$ 玉米入库封存.
(1) 入库所需的时间 $d$ (单位：天) 与入库平均速度 $v$ (单位： $t /$ 天) 有怎样的函数关系?
(2) 已知粮库有职工 60 名, 每天最多可入库 $300 \mathrm{t}$ 玉米, 预计玉来入库最快可在几天内完成?
(3) 粮库职工连续工作两天后, 天气预报说末来几天会下雨, 粮库决定次日把剩下的玉米全部入库, 至少需要增加多少职工?
## 拓广探索
8. 已知蓄电池的电压为定值, 使用蓄电池时, 电流 $I$ (单位: A) 与电阻 $R$ (单位： $\Omega$ ) 是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1) 请写出这个反比例函数的解析式.
(2) 薑电池的电压是多少?
(3) 完成下表:
(4) 如果以此蕃电池为电源的用电器的限制电流不能超过 $10 \mathrm{~A}$, 那么用电器可变电阻应控制在什么范围?
| $R / \Omega$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $I / A$ |  |  |  |  |  |  |  |  |
(第 8 题)
9. 某汽车油箱的容积为 $70 \mathrm{~L}$, 小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到 $300 \mathrm{~km}$ 外的省城接客人, 接到客人后立即按原路返回. 请回答下列问题:
(1)油箱加满油后, 汽车行驶的总路程 $s$ (卓位： $\mathrm{km}$ ) 与平均耗油量 $b$ (单位: $\mathrm{L} / \mathrm{km})$ 有怎样的函数关系?
(2)小王以平均每千米耗油 $0.1 \mathrm{~L}$ 的速度驾驶汽车到达省城, 返程时由于下雨, 小王降低了车速, 此时平均每千米的耗油量增加了一倍. 如果小王始终以此速度行驶, 不需加油能否回到县城? 如果不能, 至少还需加多少油?
## 阅读与思考
$$
\text{ 生活中的反比例关系 }
$$
如果细心观察一下, 你会发现, 日常生活中的两个量之间, 许多具有反比例关系.
你一定熟悉这种现象：生活中常用的刃具, 使用一段时间后就会变钝, 用起来很费劲. 如果把刀刃磨薄, 刀具就会锋利起来. 你知道这是为什么吗? 解䣋这种现象需要考虑压强与受力面积之间的关系. 压强不仅与压力的大小有关, 还与受力面积的大小有关. 压强就是单位面积上受到的压力, 压强的计算公式为
$$
p=\frac{F}{S}
$$
其中 $p$ 是压膙, $F$ 是压力, $S$ 是受力面积. 从上式可以看出, 当压力一定时, 压强与受力面积成反比例关系. 使用刀具时, 刀刃磨得越薄, 即刀刃与物体的接触面积 $S$ 越小，压强 $p$ 就会越大, 我们就会感觉刀具越锋利.
根据压强与受力面积的反比例关系，你能解释为什么重型坦克、推土机要在轮子上安装又㝋又长的履带， 大型载重卡车装有许多车轮吗?
充满气体的气球能够用脚踩爆，这是为什么呢?原来这里涉及气体压强与体积之间的关系。当一个容器装有一定质量的气体时，运动的气体分子碰撞容器壁会对容器产生压强.在温度恒定的情况下，气体的压强力与气体体积V成反比例关系，气体的压强会随气体体积的减小(增大)而增大(减小).当气球充满气体时，如果用脚踩气球，就会使气球的体积变小，从而使气体的压强增大，导致气球爆裂。
利用气体压强与体积之间的这种反比例关系，你能解释为什么超载的车辆容易暴胎吗？
同学们一定有这样的感受：一辆汽车在空载的悄况下行驶得很快, 但是满载时速度明显减小了，这是为什么呢?
这里涉及汽车的行驶速度与汽车所受阻力之间的反比例关系. 设汽车的功率为 $P$, 行驶速度为 $v$, 所受阻力为 $F$, 三者之间满足关系
$$
v=\frac{P}{F}
$$
从上面的式子可以看出, 当汽车的功率 $P$-定时, 汽车的负载越大, 阻力 $F$ 就越大, 行驶速度 $v$ 就会越小.
你还能举出生活中可以用反比例关系解释的例子吗?
## 数学活动
## 活动1
下表是 10 个面积相等的矩形的长与宽, 请补齐表格.
| 长 $/ \mathrm{cm}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |  |  |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 宽 $/ \mathrm{cm}$ |  |  |  |  | 2 | $\frac{5}{3}$ | $\frac{10}{7}$ | $\frac{5}{4}$ | $\frac{10}{9}$ | 1 |
设 $\angle A$ 为这 10 个矩形的公共角, 画出这 10 个矩形, 然后取 $\angle A$ 的 10 个对角的顶点, 并把这 10 个点用平滑的曲线顺次连接起来.
这条申线是反比例函数图象的一支吗? 为什么?
## 活动 2
如右图, 取一根长 $100 \mathrm{~cm}$ 的匀质木杆, 用细绳绑在木杆的中点 $O$ 并将其吊起来. 在中点 $O$ 的左侧距离中点 $O 25 \mathrm{~cm}$ 处挂一个重 $9.8 \mathrm{~N}$ 的物体, 在中点 $O$ 右侧用一个弹簧秤向下拉, 使木杆处于水平状态. 改变弹簧秤与中点 $O$ 的距离 $L$ (单位: $\mathrm{cm}$ ), 看弹簧秤的示数 $F$ (单位： $N$ ) 有什么变化, 并填写下表:
| $L / \mathrm{cm}$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $F / \mathrm{N}$ |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
以 $L$ 的数值为横坐标, $F$ 的数值为纵坐标建立直角坐标系. 在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点, 并用平滑的曲线顺次连接这些点.
这条曲线是反比例函数图象的一支吗? 为什么? 点 $(50,4.9)$ 在这条曲线上吗?
## 小结
## 一、本章知识结构图
## 二、回顾与思考
本章我们从现实世界中具有反比例关系的实例出发, 从函数角度刻画了反比例关系, 认识了反比例函数 $y=\frac{k}{x}$. 像研究一次函数、二次函数一样, 我们先用描点法画出反比例函数的图象, 观察图象得出反比例函数的性质; 最后运用反比例函数解决实际问题.
本章我们又一次经历了用函数研究变化规律的过程, 用反比例函数刻画具有反比例关系的两个变量之间的对应关系: 在变量 $y$ 随变量 $x$ 的变化而变化的过程中, 它们的积 $x y$ 始终保持不变 $(x y=k, k \neq 0)$. 这也是判断一个问题能否用反比例函数来刻画的依据.
请你带着下面的问题, 复习一下全章的内容吧.
1. 举例说明什么是反比例函数.
2. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象是什么样的? 反比例函数有什么性质?
3. 我们知道, 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型. 反比例函数描述的变化规律是怎样的?
4. 与正比例函数、一次函数、二次函数的图象相比, 反比例函数的图象特殊在娜里?
5. 你能举出现实生活中几个运用反比例函数性质的实例吗?
6. 结合本章内容, 请你谈一谈运用数形结合解决问题的体会.
## 复习题 26
## 复习巩固
1. 用解析式表示下列函数:
(1)三角形的面积是 $12 \mathrm{~cm}^{2}$, 它的一边 $a$ (单位: $\mathrm{cm}$ ) 是这边上的高 $h$ (单位: $\mathrm{cm}$ )的函数;
(2) 圆锥的体积是 $50 \mathrm{~cm}^{3}$, 它的高 $h$ (单位: $\mathrm{cm}$ ) 是底面面积 $S$ (单位: $\mathrm{cm}^{2}$ ) 的函数.
2. 填空:
对于函数 $y=\frac{3}{x}$, 当 $x>0$ 时, $y \ldots 0$, 这时函数图象位于第__象限; 对于函数 $y=-\frac{3}{x}$, 当 $x<0$ 时, $y \_0$, 这时函数图象位于第__象限.
3. 填空:
(1)函数 $y=\frac{10}{x}$ 的图象位于第__象限, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而 ;
(2)函数 $y=-\frac{10}{x}$ 的图象位于第 __象限, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而
4. 下面四个关系式中, $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是 $(\quad)$.
(A) $y=\frac{1}{x^{2}}$
(B) $y x=-\sqrt{3}$
(C) $y=5 x+6$
(D) $\sqrt{x}=\frac{1}{y}$
## 综合运用
5. 在反比例函数 $y=\frac{k-1}{x}$ 的图象的每一支上, $y$ 都随 $x$ 的增大而减小, 求 $k$ 的取值范围.
6. 如图, 一块砖的 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个面的面积比是 $4: 2: 1$. 如果 $\mathrm{B}$ 面向下放在地上, 地面所受压强为 $a \mathrm{~Pa}$, 那么 $\mathrm{A}$ 面和 $\mathrm{C}$ 面分别向下放在地上时, 地面所受压强各是多少?
(第 6 题)
7. 已知某品牌显示器的寿命大约为 $2 \times 10^{4} \mathrm{~h}$.
(1) 这种显示器可工作的天数 $d$ 与平均每日工作的小时数 $t$ 之间具有怎样的函数关系?
(2)如果平均每天工作 $10 \mathrm{~h}$, 那么这种显示器大约可使用多长时间?
8. 把下列函数的解析式与其图象对应起来:
(1) $y=\frac{2}{x}$;
(2) $y=\frac{2}{|x|}$;
(3) $y=-\frac{2}{x}$
(4) $y=-\frac{2}{|x|}$
(A)
(C)
(B)
(D)
(第 8 题)
## 拓广探索
9. 两个不同的反比例函数的图象能否相交? 为什么?
10. 在同一直角坐标系中, 若正比例函数 $y=k_{1} x$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k_{2}}{x}$ 的图象没有交点, 试确定 $k_{1} k_{2}$ 的取值范国.
11. 市政府计划建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为 $10^{6} \mathrm{~m}^{3}$, 某运输公司承担了运送土石方的任务.
(1)运输公司平均运送速度 $v$ (单位: $\mathrm{m}^{3} /$ 天) 与完成运送任务所需时间 $t$ (单位: 天)之间具有怎样的函数关系?
(2) 这个运输公司共有 100 辆卡车, 每天可运送土石方 $10^{4} \mathrm{~m}^{3}$, 公司完成全部运输任务需要多长时间?
(3)当公司以问题(2)中的速度工作了 40 天后, 由于工程进度的需要, 剩下的所有运输任务必须在 50 天内完成, 公司至少应增加多少䢀卡车?
## 第二十七章 相似
在现实生活中, 我们经常见到形状相同的图形. 如国旗上大小不同的五角星、不同尺寸同底版的相片等. 下图中两张大小不同的万里长城图片, 它们的各部分都是按一定比例对应的.
在 “全等三角形” 一章中, 我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法. 类似地, 两个形状相同、大小不同的三角形, 它们的边和角有什么关系? 对应线段 (如高、中线和角平分线等) 和面积有什么关系? 如何判断两个三角形的形状是否相同? 如何按要求放大或缩小一个图形呢?
要回答上面的问题, 就进入这一章的学习吧！在实验、探索和论证之后, 你就能得到问题的答案.
## 27.1 图形的相似
图 27.1-1 中有汽车和它的模型, 也有大小不同的足球，还有同一张底版洗出的不同尺寸的照片, 以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文字. 所有这些, 都给我们以形状相同的形象. 我们把形状相同的图形叫做相似图形(similar fig-ures).
你能在举出一些相似图形的例子吗？
两个图形相似, 其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 例如, 放映电影时, 投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大; 用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形, 都与原来的图形相似. 图 27.1-2 中有 4 对图形, 每对图形中的两个图形相似. 其中较大(小)的图形可以看成是由较小 (大)的图形放大(缩小)得到的.
下面我们研究特殊的相似图形一一相似多边形. 两个边数相同的多边形, 如果它们的角分别相等, 边成比例, 那么这两个多边形叫做相似多边形 (similar polygons). 相似多边形对应边的比叫做相似比 (similarity ratio).
例如, 图 27.1-4 中的两个大小不同的四边形 $A B C D$ 和四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，
$\angle A=\angle A_{1}, \angle B=\angle B_{1}, \angle C=\angle C_{1}, \angle D$ $=\angle D_{1}$,
$$
\frac{A B}{A_{1} B_{1}}=\frac{B C}{B_{1} C_{1}}=\frac{C D}{C_{1} D_{1}}=\frac{D A}{D_{1} A_{1}},
$$
因此四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似.
由相似多边形的定义可知, 相似多边形的对应角相等, 对应边成比例.
对于四条线段 $a ，$ $b, c, d$, 如果其中两条线段的比 (即它们长度的比)与另两条线段的比相等, 如 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (即 $a d=b c$ ), 我们就说这四条线段成比例.
两个大小不同的正方形相似吗? 为什么?
$例$ 如图 27.1-5, 四边形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 相似, 求角 $\alpha, \beta$ 的大小和 $E H$ 的长度 $x$.
$解：$ 因为四边形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 相似, 所以它们的对应角相等, 由此可得
$$
\alpha=\angle C=83^{\circ}, \angle A=\angle E=118^{\circ} \text {. }
$$
在四边形 $A B C D$ 中，
$$
\beta=360^{\circ}-\left(78^{\circ}+83^{\circ}+118^{\circ}\right)=81^{\circ} .
$$
因为四边形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 相似, 所以它们的对应边成比例, 由此可得
$$
\frac{E H}{A D}=\frac{E F}{A B} \text {, 即 } \frac{x}{21}=\frac{24}{18} \text {. }
$$
解得
$$
x=28.
$$
图 27.1-1
图 27.1-2
图 27.1-4
图 27.1-5
## 思考
图 27.1-3 是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自已的形象, 这些镜中的形象相似吗?
图 27.1-3
## 练习
1. 如图, 从放大锐里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?
(第 1 题)
2. 如图, 图形 (a) $\sim$ (f) 中, 哪些与图形(1)或(2)相似?
(1)
(2)
(a)
(d)
(b)
(c)
(e)
(f)
(第 2 题)
## 练习
1. 在比例尺为 $1: 10000000$ 的地图上, 量得甲、乙两地的距离是 $30 \mathrm{~cm}$, 求两地的实际距离.
2. 如图所示的两个三角形相似吗? 为什么?
(第 2 题)
3. 如图所示的两个五边形相似, 求 $a, b, c, d$ 的值.
(第 3 题)
## 习题 27.1
## 复习巩固
1. 两地的实际距离是 $2000 \mathrm{~m}$, 在地图上量得这两地的距离为 $2 \mathrm{~cm}$ ，这幅地图的比例尺是多少?
2. 任意两个矩形相似吗? 为什么?
3. 如图, $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 相似, 求 $x, y$ 的值.
(第 3 题)
## 综合运用
4. 如图, 试着在方格纸中画出与原图形相似的图形. 你用的是什么方法? 与同学交流一下.
(第 4 题)
5. 如图, $D E / / B C$. (1) 求 $\frac{A D}{A B}, \frac{A E}{A C}, \frac{D E}{B C}$ 的值; (2) 证明 $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 相似.
(第 5 题)
6. 如图, 矩形草坪长 $30 \mathrm{~m}$ 、宽 $20 \mathrm{~m}$. 沿草坪四周有 $1 \mathrm{~m}$ 宽的环行小路, 小路内外边缘形成的两个矩形相似吗? 说出你的理由.
(第 6 题)
7. 如果两个多边形仅有角分别相等, 它们相似吗? 如果仅有边成比例呢? 若不一定相似, 请举出反例.
## 拓广探索
8. 如图, 将一张矩形纸片沿较长边的中点对折, 如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似, 那么原来矩形的长宽比是多少? 将这张纸如此再对折下去, 得到的矩形都相似吗?
(第 8 题)
## 27.2 相似三角形
### 27.2.1 相似三角形的判定
在相似多边形中, 最简单的就是相似三角形 (similar triangles). 如图 27.2-1, 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中, 如果
$$
\angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime}, \angle C=\angle C^{\prime},
$$
$$
\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=k
$$
即三个角分别相等, 三条边成比例, 我们就说 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 相似，相似比为 $k$. 相似用符号 “の”表示, 读作“相似于”. $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 相似记作 “ $\triangle A B C \operatorname{s} \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ”.
判定两个三角形全等时, 除了可以验证它们 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 与 $\triangle A B C$ , 所有的角和边分别相等外, 还可以使用简便的判定方法 (SSS, SAS, ASA, AAS). 类似地, 判定两个三角形相似时, 是不是也存在简便的判定方法呢? 我们先来探究下面的问题.
如果 $k=1$这两个三角形有怎样的关系?
$\triangle A^{\prime} B^{\prime}  C^{\prime}$ 与 $\triangle A B C$ 的相似比为 $\frac{1}{k}$
图 27.2-1
## 探究
如图 27.2-2, 任意画两条直线 $l_{1}, l_{2}$, 再画三条与 $l_{1}, l_{2}$ 都相交的平行线 $l_{3}, l_{4}, l_{5}$. 分别度量 $l_{3}, l_{4}, l_{5}$ 在 $l_{1}$ 上截得的两条线段 $A B, B C$ 和在 $l_{2}$ 上截得的两条线段 $D E, E F$ 的长度, $\frac{A B}{B C}$ 与 $\frac{D E}{E F}$ 相等时? 任意平移 $l_{5}, \frac{A B}{B C}$ 与 $\frac{D E}{E F}$ 还相等吗?
图 27.2-2
可以发现, 当 $l_{3} / / l_{4} / / l_{5}$ 时, 有 $\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{E F}, \frac{B C}{A B}=\frac{E F}{D E}, \frac{A B}{A C}=\frac{D E}{D F}$, $\frac{B C}{A C}=\frac{E F}{D F}$ 等.
一般地, 我们有平行线分线段成比例的基本事实:
$两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成比例.$
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况 (图 27.2-3).
在图 27.2-3 (1) 中, 把 $l_{4}$ 看成平行于 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的直线; 在图 27.2-3
(2) 中, 把 $l_{3}$ 看成平行于 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的直线, 那么我们可以得到结论:
$平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线), 所得的对应线段成比例.$
(1)
(2)
图 27.2-3
## 思考
如图 27.2-4, 在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C$, 且 $D E$ 分别交 $A B, A C$ 于点 $D, E, \triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 有什么关系?
图 27. 2-4
直觉告诉我们, $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 相似, 我们通过相似的定义证明它, 即证明 $\angle A=\angle A, \angle A D E=\angle B, \angle A E D=\angle C, \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{D E}{B C}$. 由前面的结论可得, $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}$. 而 $\frac{D E}{B C}$ 中的 $D E$ 不在 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 上, 不能直接利用前面的结论. 但从要证的 $\frac{A E}{A C}=\frac{D E}{B C}$ 可以看出, 除 $D E$ 外, $A E, A C, B C$ 都在 $\triangle A B C$ 的边上, 因此只需将 $D E$ 平移到 $B C$ 边上去, 使得 $B F=D E$, 再证明 $\frac{A E}{A C}=\frac{B F}{B C}$ 就可以了(图 27. 2-5). 只要过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 交 $B C$ 于点 $F, B F$ 就是平移 $D E$ 所得的线段.
先证明两个三角形的角分别相等.
如图 27.2-5, 在 $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=\angle A$.
$\because D E / / B C$,
$\therefore \angle A D E=\angle B, \angle A E D=\angle C$.
再证明两个三角形的边成比例.
过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 交 $B C$ 于点 $F$.
$\because D E / / B C, E F / / A B$,
$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}, \frac{B F}{B C}=\frac{A E}{A C}$.
$\because$ 四边形 $D B F E$ 是平行四边形,
$\therefore D E=B F$.
$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A E}{A C}$.
$\therefore \quad \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{D E}{B C}$.
这样, 我们证明了 $\triangle A D E$ 和 $\triangle A B C$ 的角分别相等, 边成比例, 所以 $\triangle A D E \backsim \triangle A B C$. 因此, 我们有如下判定三角形相似的定理：
$平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似$.
图 27.2-5
## 练习
1. 如图, $A B / / C D / / E F, A F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$, 且 $A G=2, G D=1, D F=5$, 求 $\frac{B C}{C E}$ 的值.
(第 1 题)
2. 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C$, 且 $A D=3, D B=2$. 写出图中的相似三角形, 并指出其相似比.
(第 2 题)
## 探究
任意画一个三角形, 再画一个三角形, 使它的各边长都是原来三角形各边长的 $k$ 倍. 度量这两个三角形的角, 它们分别相等吗? 这两个三角形相似吗? 与同学交流一下, 看看是否有同样的结论.
类似于判定三角形全等的 SSS 方法, 我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢?
可以发现, 这两个三角形相似. 我们可以利用上面的定理进行证明.
如图 27.2-6, 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中, $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$, 求证 $\triangle A B C \operatorname{S} \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$
$\triangle A^{\prime} D E $ 是证明的中介，它把 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 联系起来。
$证明：$ 在线段 $A^{\prime} B^{\prime}$ (或它的延长线) 上截取 $A^{\prime} D=A B$, 过点 $D$ 作 $D E / / B^{\prime} C^{\prime}$, 交 $A^{\prime} C^{\prime}$ 于点 $E$. 根据前面的定理, 可得 $\triangle A^{\prime} D E \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
$\therefore \quad \frac{A^{\prime} D}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{D E}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A^{\prime} E}{A^{\prime} C^{\prime}}$
又 $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}, A^{\prime} D=A B$, $\triangle A^{\prime} D E$ 是证明
$\therefore \frac{D E}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}, \frac{A^{\prime} E}{A^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$. 的中介, 它把 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 联系起来.
$\therefore D E=B C, A^{\prime} E=A C$.
$\therefore \triangle A^{\prime} D E \cong \triangle A B C$.
$\therefore \triangle A B C \operatorname{\triangle } \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
*相似三角形判定定理的证明都是选学内容. 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 (图 27. 2-7)：
$$
\frac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}} = \frac{BC}{B^{\prime} C^{\prime}} = \frac{AC}{A^{\prime} C^{\prime}} \\
\\
\downarrow \\
\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
$三边成比例的两个三角形相似.$
类似于判定三角形全等的 SAS 方法, 能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢? 事实上, 我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理(图 27.2-8):
$$
\frac{AB}{A^{\prime} B^{\prime}} =  \frac{AC}{A^{\prime} C^{\prime}} ,\angle A = \angle A^{\prime} \\
\\
\downarrow \\
\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
$两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.$
怎样证明这个定理呢? 它的证明思路与证明前面定理的思路类似. 先用同样的方法作一个与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 相似的三角形, 再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与 $\triangle A B C$ 全等.
$例1$ 根据下列条件, 判断 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是否相似, 并说明理由：
(1) $A B=4 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}, A C=8 \mathrm{~cm}$, $A^{\prime} B^{\prime}=12 \mathrm{~cm}, B^{\prime} C^{\prime}=18 \mathrm{~cm}, A^{\prime} C^{\prime}=24 \mathrm{~cm}$;
(2) $\angle \mathrm{A}=120^{\circ}, A B=7 \mathrm{~cm}, A C=14 \mathrm{~cm}$, $\angle A^{\prime}=120^{\circ}, A^{\prime} B^{\prime}=3 \mathrm{~cm}, A^{\prime} C^{\prime}=6 \mathrm{~cm}$.
$解:$ (1) $\because \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,
$$
\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3},
$$
$$
\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3},
$$
$\therefore \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$.
$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
(2) $\because \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{7}{3}, \frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$,
$\therefore \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$
又 $\angle A=\angle A^{\prime}$,
$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
这两个三角形的相似比是多少?
图 27.2-6
图 27,2-7
图 27.2-8
## 思考
对于 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 如果 $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}, \angle B=\angle B^{\prime}$, 这两个三角形一定相似吗? 试着画画看.
##  练习
1. 根据下列条件, 判断 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是否相似, 并说明理由:
(1) $\angle A=40^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, A C=15 \mathrm{~cm}$,\
$\angle A^{\prime}=40^{\circ}, A^{\prime} B^{\prime}=16 \mathrm{~cm}, A^{\prime} C^{\prime}=30 \mathrm{~cm}$;
(2) $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}, A C=16 \mathrm{~cm}$, \
$A^{\prime} B^{\prime}=16 \mathrm{~cm}, B^{\prime} C^{\prime}=12.8 \mathrm{~cm}, A^{\prime} C^{\prime}=25.6 \mathrm{~cm}$.
2. 图中的两个三角形是否相似? 为什么?
(1)
(2)
(第 2 题)
3. 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形框架的三边长分别为 $4 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}$ 和 $6 \mathrm{~cm}$, 另一个三角形框架的一边长为 $2 \mathrm{~cm}$, 它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案?
观察两副三角尺 (图 27.2-9), 其中有同样两个锐角 $\left(30^{\circ}\right.$ 与 $60^{\circ}$, 或 $45^{\circ}$ 与 $45^{\circ}$ ) 的两个三角尺大小可能不同, 但它们看起来是相似的.
一般地, 我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理(图 27.2-10):
$$
\angle A = \angle A^{\prime} ,\angle B = \angle B^{\prime} \\
\\
\downarrow \\
\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}
$$
$两角分别相等的两个三角形相似.$
这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似. 试一试, 如何完成证明?
$例2$ 如图 27.2-11, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A B=10, A C=8 . E$ 是 $A C$ 上一点, $A E=5, E D \perp A B$, 垂足为 $D$. 求 $A D$ 的长.
$解:$ $\because E D \perp A B$,
$\therefore \angle E D A=90^{\circ}$.
又 $\angle C=90^{\circ}, \angle A=\angle A$,
$\therefore \triangle A E D \backsim \triangle A B C$.
$\therefore \quad \frac{A D}{A C}=\frac{A E}{A B}$.
$\therefore \quad A D=\frac{A C \cdot A E}{A B}=\frac{8 \times 5}{10}=4$.
事实上, 这两个直角三角形相似. 下面我们给出证明.
如图 27.2-12, 在 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle C^{\prime}=90^{\circ}, \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$. 求证 Rt $\triangle A B C \sim R t \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
分析：要证 Rt $\triangle A B C \backsim \Omega \operatorname{Rt} \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 可设法证 $\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$. 若设 $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=k$, 则只需证 $\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=k$.
*证明：设 $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=k$, 则 $A B=k A^{\prime} B^{\prime}, A C=k A^{\prime} C^{\prime}$.
由勾股定理, 得 $B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}, B^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{A^{\prime} B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime 2}}$.
$\therefore \quad \frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{\sqrt{k^{2} \cdot A^{\prime} B^{\prime 2}-k^{2} \cdot A^{\prime} C^{\prime 2}}}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{k \cdot B^{\prime} C^{\prime}}{B^{\prime} C^{\prime}}=k$.
$\therefore \frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$.
$\therefore$ Rt $\triangle A B C \sim \operatorname{Rt} \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
由三角形相似的条件可知, 如果两个直角三角形满足一个锐角相等, 或两组直角边成比例, 那么这两个直角三角形相似.
图 27.2-9
图 27.2-10
图 27.2-11
阁 27. 2-12
## 思考
我们知道, 两个直角三角形全等可以用 “HL” 来判定. 那么, 满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗?
## 练习
1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似? 顶角相等的两个等腰三角形呢? 证明你的结论.
2. 如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高. 求证:
(1) $\triangle A C D \backsim \triangle A B C$;
(2) $\triangle C B D \sim \triangle A B C$.
(符 2 题)
3. 如果 Rt $\triangle A B C$ 的两条直角边分别为 3 和 4 , 那么以 $3 k$ 和 $4 k$ ( $k$ 是正整数) 为直角边的直角三角形一定与 Rt $\triangle A B C$ 相似吗? 为什么?
## 27.2.2 相似三角形的性质
## 思考
三角形中有各种各样的几何量, 例如三条边的长度, 三个内角的度数, 高、中线、角平分线的长度, 以及周长、面积等. 如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢?
## 探究
如图 27.2-13, $\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 相似比为 $k$, 它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?
根据三角形相似的定义可知, 相似三角形的对应角相等, 对应边成比例. 下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系.
如图 27.2-13, 分别作 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的对应高 $A D$ 和 $A^{\prime} D^{\prime}$.
$\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$,
$\therefore \angle B=\angle B^{\prime}$.
又 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}$ 都是直角三角形,
$\therefore \triangle A B D \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}$.
$$
\therefore \quad \frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=k \text {. }
$$
类似地, 可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于 $k$.
这样，我们得到:
$相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对
应角平分线的比都等于相似比.$
一般地，我们有:
$相似三角形对应线段的比等于相似比.$
如图 27.2-13, 由前面的结论, 我们有
$$
\frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{\frac{1}{2} B C \cdot A D}{\frac{1}{2} B^{\prime} C^{\prime} \cdot A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}} \cdot \frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=k \cdot k=k^{2} .
$$
这样，我们得到：
$相似三角形面积的比等于相似比的平方.$
相似三角形的周长有什么关系?
图 27.2-13
## 思考
相似三角形面积的比与相似比有什么关系?
例 3 如图 27.2-14, 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中, $A B=2 D E, A C=2 D F$, $\angle A=\angle D$. 若 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 上的高为 6 , 面积为 $12 \sqrt{5}$, 求 $\triangle D E F$ 的边 $E F$ 上的高和面积.
解：在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中,
$\because A B=2 D E, A C=2 D F$,
$\therefore \frac{D E}{A B}=\frac{D F}{A C}=\frac{1}{2}$.
又 $\angle D=\angle A$,
$\therefore \triangle D E F \backsim \triangle A B C, \triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$ 的相似比为 $\frac{1}{2}$.
$\because \triangle A B C$ 的边 $B C$ 上的高为 6 , 面积为 $12 \sqrt{5}$,
$\therefore \triangle D E F$ 的边 $E F$ 上的高为 $\frac{1}{2} \times 6=3$,
面积为 $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times 12 \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$.
图 27.2-14
## 练习
1. 判断题 （正确的画“ √ ”，错误的画“ × ” ）。
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍, 这个三角形的角平分线也扩大为原来的 5 倍; $\quad \quad \quad \quad $ $(\quad)$
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的 9 倍, 这个三角形的面积也扩大为原来的 9 倍. $\quad \quad \quad \quad $ $(\quad)$
2. 如图, $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 相似, $A D, B E$ 是 $\triangle A B C$ 的高, $A^{\prime} D^{\prime}, B^{\prime} E^{\prime}$ 是 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高, 求证 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{B E}{B^{\prime} E^{\prime}}$.
(第 2 题)
3. 在一张复印出来的纸上, 一个三角形的一条边由原图中的 $2 \mathrm{~cm}$ 变成了 $6 \mathrm{~cm}$, 放缩比例是多少? 这个三角形的面积发生了怎样的变化?
## 27.2.3 相似三角形应用举例
利用三角形的相似，可以解决一些测量问题. 下面来看儿个例子.
$例4$ 据传说, 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理, 在金字塔影子的顶部立一根木杆, 借助太阳光线构成两个相似三角形, 来測量金字塔的高安.
如图 27.2-15, 木杆 $E F$ 长 $2 \mathrm{~m}$, 它的影长 $F D$ 为 $3 \mathrm{~m}$, 测得 $O A$ 为 $201 \mathrm{~m}$, 求金字塔的高度 $B O$.
怎样测出 $O A$ 的长?
解: 太阳光是平行光线, 因此
$$
\angle B A O=\angle E D F \text {. }
$$
又 $\angle A O B=\angle D F E=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle A B O \backsim \triangle D E F$.
$\therefore \frac{B O}{E F}=\frac{O A}{F D}$,
$\therefore \quad B O=\frac{O A \cdot E F}{F D}=\frac{201 \times 2}{3}=134(\mathrm{~m})$.
因此金字塔的高度为 $134 \mathrm{~m}$.
$例5$ 如图 27.2-16, 为了估算河的宽度, 我们可以在河对岸选定一个目标点 $P$, 在近岸取点 $Q$ 和 $S$, 使点 $P, Q, S$ 共线且直线 $P S$ 与河垂直, 接着在过点 $S$ 且与 $P S$ 垂直的直线 $a$ 上选择适当的点 $T$, 确定 $P T$ 与过点 $Q$ 且垂直 $P S$ 的直线 $b$ 的交点 $R$. 已测得 $Q S=45 \mathrm{~m}, S T=90 \mathrm{~m}, Q R=60 \mathrm{~m}$, 请根据这些数据, 计算河宽 $P Q$.
$解:$ $\because \angle P Q R=\angle P S T=90^{\circ}, \angle P=\angle P$,
$\therefore \triangle P Q R \backsim \triangle P S T$.
$\therefore \frac{P Q}{P S}=\frac{Q R}{S T}$,
即
$$
\frac{P Q}{P Q+Q S}=\frac{Q R}{S T}, \frac{P Q}{P Q+45}=\frac{60}{90},
$$
$P Q \times 90=(P Q+45) \times 60$.
解得 $P Q=90(\mathrm{~m})$.
因此, 河宽大约为 $90 \mathrm{~m}$.
$例6$ 如图 27.2-17, 左、右并排的两棵大树的高分别为 $A B=8 \mathrm{~m}$ 和 $C D=12 \mathrm{~m}$, 两树底部的距离 $B D=5 \mathrm{~m}$, 一个人估计自己眼睛距地面 $1.6 \mathrm{~m}$. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路 $l$ 从左向右前进, 当她与左边较低的树的距离小于多少时, 就看不到右边较高的树的顶端 $C$ 了?
$分析:$ 如图 27.2-17(1), 设观察者眼睛的位置为点 $F$, 画出观察者的水平视线 $F G$, 分别交 $A B, C D$ 于点 $H, K$. 视线 $F A$ 与 $F G$ 的夹角 $\angle A F H$ 是观察点 $A$ 时的仰角. 类似地, $\angle C F K$ 是观察点 $C$ 时的仰角. 由于树的遮挡, 区域 I 和 II，观察者都看不到.
$解：$ 如图 27.2-17(2), 假设观察者从左向右走到点 $E$ 时, 她的眼睛的位置点 $E$ 与两棵树的顶端 $A, C$ 恰在一条直线上.
$\because A B \perp l, C D \perp l$,
$\therefore A B / / C D$.
$\therefore \triangle A E H \backsim \triangle C E K$.
$\therefore \frac{E H}{E K}=\frac{A H}{C K}$,
即
$$
\frac{E H}{E H+5}=\frac{8-1.6}{12-1.6}=\frac{6.4}{10.4}
$$
解得
$$
E H=8(\mathrm{~m}) .
$$
由此可知, 如果观察者继续前进, 当她与左边的树的距离小于 $8 \mathrm{~m}$ 时, 由于这棵树的遮挡, 她看不到右边树的顶端 $C$.
图 27.2-15
图 27.2-16
(1)
(2)
图 27.2-17
## 练习
1. 在某一时刻, 测得一根高为 $1.8 \mathrm{~m}$ 的竹䇢的影长为 $3 \mathrm{~m}$, 同时测得一栱楼的影长为 $90 \mathrm{~m}$, 这栋楼的高度是多少?
2. 如图, 测得 $B D=120 \mathrm{~m},
D C=60 \mathrm{~m}, E C=$ $50 \mathrm{~m}$, 求河宽 $A B$.
## 习题 27.2
## 复习巩固
1. 有一块三角形的草地, 它的一条边长为 $25 \mathrm{~m}$. 在图纸上, 这条边的长为 $5 \mathrm{~cm}$, 其他两条边的长都为 $4 \mathrm{~cm}$, 求其他两边的实际长度.
(第 1 题)
2. 根据下列条件, 判断 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 是否相似, 并说明理由:
(1) $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=12 \mathrm{~cm}, A C=15 \mathrm{~cm}, A^{\prime} B^{\prime}=150 \mathrm{~cm}, B^{\prime} C^{\prime}=180 \mathrm{~cm}, A^{\prime} C^{\prime}=$ $225 \mathrm{~cm}$
(2) $\angle A=70^{\circ}, \angle B=48^{\circ}, \angle A^{\prime}=70^{\circ}, \angle C^{\prime}=62^{\circ}$.
3. 如图, (1) 判断两个三角形是否相似;(2)求 $x$ 和 $y$ 的值.
(1)
(2)
(第 3 题)
4. 如图, $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C, E F / / A B$, 求证 $\triangle A D E \backsim \triangle E F C$.
(第 4 题)
5. 如图, $\triangle A B C$ 中, $D E / / F G / / B C$, 我出图中所有的相似三角形.
(第 5 题)
6. 如果把两条直角边分别为 $30 \mathrm{~cm}, 40 \mathrm{~cm}$ 的直角三角形按相似比 $\frac{3}{5}$ 进行缩小, 得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少?
7. 如图, $A D$ 是 Rt $\triangle A B C$ 斜边上的高. 若 $A B=4 \mathrm{~cm}, B C=10 \mathrm{~cm}$, 求 $B D$ 的长.
(第 7 题)
## 综合运用
8. 如图, 比例规是一种画图工具, 它由长度相等的两脚 $A D$ 和 $B C$ 交叉构成. 利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短. 如果把比例规的两脚合上, 使螺丝钉固定在刻度 3 的地方 (即同时使 $O A=$ $3 O D, O B=3 O C)$, 然后张开两脚，使 $A, B$ 两个尖端分别在线段 $l$ 的两个端，点上, 这时 $C D$ 与 $A B$ 有什么关系? 为什么?
(第 8 题)
9. 如图, 利用标杆 $B E$ 测量建筑物的高度. 如果标杆 $B E$ 高 $1.2 \mathrm{~m}$, 测得 $A B=1.6 \mathrm{~m}, B C=12.4 \mathrm{~m}$, 楼高 $C D$ 是多少？
(第 9 题)
10. 如图, 为了测量一栋楼的高度, 王青同学在她脚下放了一面镜子, 然后向后退, 直到她刚好在镜子中看到楼的顶部. 这时 $\angle L M K$ 等于 $\angle S M T$ 吗? 如果王青身高 $1.55 \mathrm{~m}$, 她估计自己眼睛距地面 $1.50 \mathrm{~m}$, 同时量得 $L M=30 \mathrm{~cm}$, $M S=2 \mathrm{~m}$, 这栋楼有多高?
(第 10 题)
11. 如图, 四边形 $A B C D$ 是矩形, 点 $F$ 在对角线 $A C$ 上运动, $E F / / B C, F G / / C D$, 四边形 $A E F G$ 和四边形 $A B C D$ 一直保持相似吗? 证明你的结论.
(第 11 题)
12. 如图, 平行于 $B C$ 的直线 $D E$ 把 $\triangle A B C$ 分成面积相等的两部分, 试确定点 $D$ (或 $E$ ) 的位置.
(箱 12 题)
## 拓广探索
13. 如图, $\triangle A B C$ 中, $C D$ 是边 $A B$ 上的高, 且 $\frac{A D}{C D}=\frac{C D}{B D}$, 求 $\angle A C B$ 的大小.
(第 13 题)
14. 如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=8, A C=6, B C=9$. 如果动点 $D$ 以每秒 2 个单位长度的速度, 从点 $B$ 出发沿边 $B A$ 向点 $A$ 运动, 此时直线 $D E / / B C$, 交 $A C$ 于点 $E$. 记 $x$ 秒时 $D E$ 的长度为 $y$, 写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式, 并画出它的图象.
(第 14 题)
## 观察与猜想
$$
奇妙的分形图形
$$
下面是两䡒奇妙的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗?
图 1 叫做谢尔宾斯基地毯, 它最早是由波兰数学家谢尔宾斯基这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的 4 个小正三角形, 挖去中间的一个小三角形; 对剩下的 3 个小正三角形再分别重复以上做法 $\cdots \cdots \cdots$ 将这种做法继续进行下去, 就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯 (图 3). 这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系?
图 2 叫做雪花曲线, 它可以从一个等边三角形开始画：把一个等边三角形的每边分成相同的三段, 再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形, 这样一来就做戌了一个六角星. 然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形, 出现了一个有 18 个尖角的图形. 如此继续下去, 就能得到分支越来越多的曲线 (图 4). 继续重复上面的过程, 图形的外边界逐浙变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致、越来越复杂, 越来越像雪花、越来越美丽了.这种图形的产生过程中大大小小的三角形之问有什么关系?
猜想: 上面这样的图形中, 存在多种相似关系, 例如其中大大小小的三角形是相似的.
事实上, 上面的图形中都存在自相似性, 即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系, 这样的图形叫做分形图形. 分形图形具有奇特的性质, 例如, 如果把上面那样画雪花曲线的做法无限地继续下去, 雪花曲线的周长可以无限长, 但它却可以画在一个小小的格子中; 它的尖端可以无限多, 无数小少尖布满了整个曲线, 但它们彼此却不会相交. 从 20 世纪 70 年代起, 一个新兴的数学分支一一分形几何逐步形成, 它的研究对象就是具有自相似性的图形.
再看一个分形图形的例子. 画一个大的正五边形, 接首画出内嵌的 5 个小正五边形 (如果算上中间的一个小正五边形, 则正好是 6 个); 在每个小正五边形再画出 5 个更小的正五边形(图 5); 继续下去, 不断重复此过程, 就可以得到有无穷自相似结构的分形图形(图 6). 你愿意试着画画吗?
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5
图 6
## 27.3 位似
在日常生活中, 我们经常见到这样一类相似的图形. 例如, 放映幻灯片时, 通过光源, 把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 在照相馆中, 摄影师通过照相机, 把人物的影像缩小在底片上. 这样的放大或缩小, 没有改变图形形状, 经过放大或缩小的图形, 与原图形是相似的, 因此, 我们可以得到真实的图片和照片.
下面，我们来研究这类相似的图形.
如图 27.3-1, 如果个图形上的点 $A, B, \cdots, P, \cdots$ 和另一个图形上的点 $A^{\prime}, B^{\prime}, \cdots, P^{\prime}, \cdots$ 分别对应, 并且它们的连线 $A A^{\prime}, B B^{\prime}, \cdots, P P^{\prime}, \cdots$ 都经过同一点 $O, \frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O B^{\prime}}{O B}=\cdots=\frac{O P^{\prime}}{O P}=\cdots$, 那么这两个图形叫做 $位似图形$ (homothetic figures), 点 $O$ 是位似中心. 位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系.
对于两个多边形, 如果它们的对应顶点的连线相交于一点, 并且这点与对应顶点所连线段成比例, 那么这两个多边形就是位似多边形.
利用位似, 可以将一个图形放大或缩小.
例如, 要把四边形 $A B C D$ 缩小到原来的 $\frac{1}{2}$, 我们可以在四边形 $A B C D$ 外任取一点 $O$ (图 27.3-2), 分别在线段 $O A, O B, O C, O D$ 上取点 $A^{\prime}, B^{\prime}$, $C^{\prime}, D^{\prime}$, 使得 $\frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{1}{2}$, 顺次连接点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$, 所得四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 就是所要求的图形.
图 27.3-1
图 27.3-2
## 探究
如果在四边形 $A B C D$ 外任取一点 $O$, 分别在 $O A, O B, O C, O D$ 的反向延长线上取点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$, 使得 $\frac{O A^{\prime}}{O A}=\frac{O B^{\prime}}{O B}=\frac{O C^{\prime}}{O C}=\frac{O D^{\prime}}{O D}=\frac{1}{2}$, 四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 与四边形 $A B C D$ 有什么关系? 如果点 $O$ 取在四边形 $A B C D$ 内部呢?
分别画出得到的四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.
## 练习
1. 如图, $\triangle O A B$ 和 $\triangle O C D$ 是位似图形, $A B$ 与 $C D$ 平行吗? 为什么?
(第 1 题)
(第 2 题)
2. 如图, 以点 $O$ 为位似中心, 将 $\triangle A B C$ 放大为原来的 3 倍.
## 探究
如图 27.3-3(1), 在直角坐标系中, 有两点 $A(6,3), B(6,0)$. 以原点 $O$ 为位似中心, 相似比为 $\frac{1}{3}$, 把线段 $A B$ 缩小. 观察对应点之间坐标的变化, 你有什么发现?
如图 27.3-3(2), $\triangle A O C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(4,4)$, $O(0,0), C(5,0)$. 以点 $O$ 为位似中心, 相似比为 2 , 将 $\triangle A O C$ 放大. 观察对应顶点坐标的变化, 你有什么发现?
(1)
(2)
图 27.3-3
我们知道, 在直角坐标系中, 可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 类似地, 位似也可以用两个图形坐标之间的关系来表示.
可以看出, 图 27.3-3(1) 中, 把 $A B$ 缩小后, $A, B$ 的对应点为 $A^{\prime}(2,1), B^{\prime}(2,0) ; A^{\prime \prime}(-2$, $-1), B^{\prime \prime}(-2,0)$. 图 27.3-3(2) 中, 把 $\triangle A O C$ 放大后, $A, O, C$ 的对应点为 $A^{\prime}(8,8)$,  $O(0,0), C^{\prime}(10,0) ; A^{\prime \prime}(-8,-8), O(0,0)$, $C^{\prime \prime}(-10,0)$.
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形, 使它与原图形的相似比为 $k$, 那么与原图形上的点 $(x, y)$ 对应的位似图形上的点的坐标为 $(k x$, $k y)$ 或 $(-k x,-k y)$.
用不同方法得到的图形坐标是不同的.
$例$ 如图 27.3-4, $\triangle A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-2,4), B(-2,0), O(0,0)$. 以原点 $O$ 为位似中心, 画出一个三角形, 使它与 $\triangle A B O$ 的相似比为 $\frac{3}{2}$.
$分析:$ 由于要画的图形是三角形, 所以关键是确定它的各顶点坐标. 根据前面总结的规律, 点 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$ 的坐标为 $\left(-2 \times \frac{3}{2}, 4 \times \frac{3}{2}\right)$, 即 $(-3$, 6). 类似地, 可以确定其他顶点的坐标.
$解:$ 如图 27.3-4, 利用位似中对应点的坐标的变化规律, 分别取点 $A^{\prime}(-3,6), B^{\prime}(-3$, $0), O(0,0)$. 顺次连接点 $A^{\prime}, B^{\prime}, O$, 所得 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} O$ 就是要画的一个图形.
还可以得到其他图形吗？自己试一试.
至此, 我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式. 你能在图 27. 3-5 所示的图案中找到它们吗?
图 27.3-4
图 27.3-5
## 练习
1. 如图, 把 $\triangle A O B$ 缩小后得到 $\triangle C O D$, 求 $\triangle C O D$ 与 $\triangle A O B$ 的相似比.
(第 1 题)
2. 如图, $\triangle A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A(4,-5), B(6,0), O(0,0)$. 以原点 $O$ 为位似中心, 把这个三角形放大为原来的 2 倍, 得到 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} O^{\prime}$. 写出 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} O^{\prime}$ 三个顶点的坐标.
(第 2 题)
## 习题27.3
## 复习巩固
1. 如图, 如果虚线图形与实线图形是位似图形, 求它们的相似比并找艸位似中心.
(第 1 题)
2. 如图, 以点 $P$ 为位似中心, 将五角星的边长缩小为原来的 $\frac{1}{2}$.
(第 2 题)
3. $\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(2,2), B(4,2)$, $C(6,4)$. 以原,点 $O$ 为位似中心, 将 $\triangle A B C$ 缩小得到 $\triangle D E F$, 使 $\triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$ 对应边的比为 $1: 2$, 这时 $\triangle D E F$ 各个顶点的坐标分别是多少?
## 综合运用
4. 如图, 正方形 $E F G H, I J K L$ 都是佂方形 $A B C D$ 的位似图形, 点 $P$ 是位似中心.
(1) 哪个图形与正方形 $A B C D$ 的相似比为 3 ?
(2) 正方形 $I J K L$ 是正方形 $E F G H$ 的位似图形吗? 如果是, 求相似比.
(3) 正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的相似比是多少?
(第 4 题)
5. 如图, 矩形 $A O B C$ 各点的坐标分别为 $A(0,3), O(0,0), B(4,0), C(4,3)$. 以原点 $O$ 为位似中心, 将这个矩形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$, 写出新矩形各顶点的坐标.
(第 5 题)
6. 如图, 图中的图案与 “A”字图案(虚线图㝝)相比, 发生了什么变化? 对应点的坐标之间有什么关系?
(1)
(2)
(第 6 题)
## 拓广探索
7. 如图, 以点 $Q$ 为位似中心, 画出与矩形 $M N P Q$ 的相似比为 0.75 的一个图形.
(第 7 题)
## 信息技术应用
$$
探索位似的性质
$$
利用图形计算器或计算机等信息技术工具, 可以很方便地将图形放大或缩小, 还可以探索位似的性质.下面以《几何画板》乹件为例说明.
如图 1, 任意画一个 $\triangle A B C$, 以点 $O$ 为位似中心, 自选新旧图形的相似比为 $k$, 得到 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.
1. 度量对应边的比, 观察结果与 $k$ 的关系.
2. 以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系, 分别度量点 $A, A^{\prime}$ 的横坐标, 并计算比值; 分别度量点 $A, A^{\prime}$ 的纵坐标, 并计算比值. 观察比值与 $k$ 的关系. 其他对应点昵?
3. 作线段 $O A, O A^{\prime}, O B, O B^{\prime}, O C, O C^{\prime}$, 度量它们, 你有什么发现?
4. 任意改变 $\triangle A B C$ 的位置, 你对上面问题得出的结论是否仍然成立? 由此, 你能得出位似的一些性质吗?
图 1
## 数学活动
活动一 测量旗杆的高度
利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度. 图 1 显示了测量旗杆高度的几种方法, 你能说出各种方法的道理吗?
用类似的方法, 与同学合作, 测量校园中一些物体(如旗杆、树木等) 的高度.
利用影子
利用标杆
利用镜子
图 1
活动2 位似与美术学
观察图 2(1) (2) 中的美术字, 你会发现 (2) 中的字更有立体感.
量一量这两愊图中每个美术字上端的各条线段，你能否发现其中对应线段的比(相当于图 3 中 $\left.\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}, \frac{C D}{C^{\prime} D^{\prime}}\right)$ 有什么关系?
图 4(1)(2)给出一种图 2 中由第一种美术字写出第二种美术字的方法, 请找出其中的位似图形以及位似中心, 并解释上面所说的对应线段的比的关系.
请你利用位似写出一些立体美术字, 并与同学交流.
(1)
(2)
图 2
图 3
(1)
(2)
图 4
## 小结
## 一、本章知识结构图
## 二、回顾与思考
本章我们先由生活实例认识了相似图形, 并了解了相似多边形的特征. 然后, 重点研究了相似三角形的判定、性质和它在解决实际问题中的应用. 最后, 利用相似的知识研究了位似图形的特征.
全等形是相似比为 1 的相似图形, 因此全等是特殊的相似. 利用从特殊推广到一般的方法, 由研究全等三角形的思路, 可以提出相似三角形的问题和研究方法.
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧.
1. 相似三角形有哪些性质? 位似图形呢?
2. 三角形的相似与三角形的全等有什么关系? 如何判断两个三角形相似?
3. 举例说明三角形相似的一些应用.
4. 如何利用位似将一个图形放大或缩小? 你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同, 并举出一些它们的实际应用的例子时?
## 复习题 27
## 复习巩固
1. 如图, 四边形 $E F G H$ 相似于四边形 $K L M N$, 求 $\angle E, \angle G, \angle N$ 的度数以及 $x$, $y, z$ 的值.
(符 1 题)
2. $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $5,12,13$, 与它相似的 $\triangle D E F$ 的最小边长为 15 , 求 $\triangle D E F$ 的其他两条边长和周长.
3. 根据下列图中所注的条件, 判断图中两个三角形是否相似, 并求出 $x$ 和 $y$ 的值.
(1)
(2)
(第 3 题)
4. 李华要在报纸上刊登广告, 一块 $10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$ 的长方形版面要付 180 元的广告费. 如果他要把版面的边长扩大为原来的 3 倍，要付多少广告费(假设每平方厘米版面的广告费相同？?
5. 将如图所示的图形缩小, 使得缩小前后对应线段的比为 $2: 1$.
(第 5 题)
## 综合运用
6. 某同学的座位到黑板的距离是 $6 \mathrm{~m}$, 老师在黑板上要写多大的字, 才能使这名同学看黑板上的字时, 与他看相距 $30 \mathrm{~cm}$ 的教科书上的字的感觉相同(教科书上的小四号字大小约为 $0.42 \mathrm{~cm} \times 0.42 \mathrm{~cm})$ ?
7. 如图, 已知零件的外径为 $a$, 现用一个交叉卡䥻(两条尺长 $A C$ 和 $B D$ 相等)测量零件的内孔直径 $A B$. 如果 $O A: O C=O B: O D=n$, 且量得 $C D=b$, 求 $A B$ 以及零件厚度 $x$.
(第 7 题)
8. 如图, $C D$ 是 $\odot O$ 的弦, $A B$ 是直径, 且 $C D \perp A B$, 垂足为 $P$, 求证 $P C^{2}=P A \cdot P B$.
(第 8 题)
9. 如图, $A D \perp B C$, 垂足为 $D, B E \perp A C$, 垂足为 $E, A D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$, 连接 $E D$. 你能在图中我出一对相似三角形, 并说明相似的理由吗?
(第 9 题)
10. 如图, $\triangle A B C$ 的三条边与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的三条边满足 $A^{\prime} B^{\prime} / / A B, B^{\prime} C^{\prime} / / B C$, $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$, 且 $O B=3 O B^{\prime} . \triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积之间有什么关系?
(第 10 题)
## 拓广探索
11. 如图, 一块材料的形状是锐角三角形 $A B C$, 边 $B C=120 \mathrm{~mm}$, 高 $A D=80 \mathrm{~mm}$. 把它加工成正方形零件, 使正方形的一边在 $B C$ 上, 其余两个顶点分别在 $A B$, $A C$ 上，这个正方形零件的边长是多少?
(第 11 题)
12. 如图, 为了求出海岛上的山峰 $A B$ 的高度, 在 $D$ 处和 $F$ 处树立标杆 $C D$ 和 $E F$, 标杆的高都是 3 丈, $D, F$ 两处相隔 1000 步 (1 丈 $=10$ 尺, 1 步 $=6$ 尺), 并且 $A B, C D$ 和 $E F$ 在同一平面内. 从标杆 $C D$ 后退 123 步的 $G$ 处, 可以看到顶峰 $A$ 和标杆顶端 $C$ 在一条直线上; 从标杆 $E F$ 后退 127 步的 $H$ 处, 可以看到顶峰 $A$ 和标杆顶端 $E$ 在一条直线上. 求山峰的高度 $A B$ 及它和标杆 $C D$ 的水平距离 $B D$ 各是多少步? (提示：连接 $E C$ 并延长交 $A B$ 于点 $K$, 用含 $A K$ 的式子表示 $K C$ 和 $K E$.)
(本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》, 后作为唐代的《海岛算经》 中的第一题：今有望海岛, 立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直. 从前表却行一百二十三步, 人目着地, 取望岛峰, 与表末参合. 从后表却行一百二十七步, 人目着地, 取望岛峰, 亦与表末参合. 问岛高及去表各几何. 唐代的 1 尺约等于现在的 $31 \mathrm{~cm}$.)
(第 12 题)
## 第二十八章 锐角三角函数
意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜, 其塔顶中心点偏离垂直中心线 $2.1 \mathrm{~m} .1972$ 年比萨地区发生地震, 这座高 $54.5 \mathrm{~m}$ 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立, 但塔顶中心点偏离垂直中心线增至 $5.2 \mathrm{~m}$, 而且还在继续倾斜, 有倒塌的危险. 当地从 1990 年起对斜塔维修纠偏, 2001 年竣工, 此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 $43.8 \mathrm{~cm}$.
根据上述信息, 你能用 “塔身中心线与垂直中心线所成的角 $\theta$ (如图)”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?
从数学角度看, 上述问题就是：已知直角三角形的某些边长, 求其锐角的度数. 对于直角三角形, 我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系, 它的边角之间有什么关系呢? 本章将通过锐角三角函数, 建立直角三角形中边角之间的关系, 并利用锐角三角函数等知识, 解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题.
## 28.1 锐角三角函数
问题为了绿化荒山, 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管, 在山坡上修建一座扬水站, 对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡的坡角 ( $\angle A$ ) 为 $30^{\circ}$, 为使出水口的高度为 $35 \mathrm{~m}$, 需要准备多长的水管?
这个问题可以归结为: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B C=35 \mathrm{~m}$, 求 $A B$ (图 28.1-1).
根据 “在直角三角形中, $30^{\circ}$ 角所对的边等于斜边的一半”, 即
$$
\frac{\angle A \text { 的对边 }}{\text { 斜边 }}=\frac{B C}{A B}=\frac{1}{2},
$$
可得 $A B=2 B C=70(\mathrm{~m})$. 也就是说, 需要准备 $70 \mathrm{~m}$ 长的水管.
在上面求 $A B$ (所需水管的长度) 的过程中, 我们用到了结论: 在直角三角形中, 如果一个锐角等于 $30^{\circ}$, 那么无论这个直角三角形大小如何, 这个角的对边与斜边的比都等于 $\frac{1}{2}$.
图 28. 1-1
## 思考
在上面的问题中, 如果出水口的高度为 $50 \mathrm{~m}$, 那么需要准备多长的水管?
## 思考
如图 28. 1-2, 任意画一个Rt $\triangle A B C$, 使 $\angle C=90^{\circ}, \angle A=$ $45^{\circ}$, 计算 $\angle A$ 的对边与斜边的比 $\frac{B C}{A B}$. 由此你能得出什么结论?
图 28.1-2 如图 28. 1-2, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 因为 $\angle A=45^{\circ}$, 所以 Rt $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形. 由勾股定理得
$$
\begin{aligned}
& A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}=2 B C^{2}, \\
& A B=\sqrt{2} B C .
\end{aligned}
$$
因此
$$
\frac{B C}{A B}=\frac{B C}{\sqrt{2} B C}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
$$
即在直角三角形中, 当一个锐角等于 $45^{\circ}$ 时, 无论这个直角三角形大小如何, 这个角的对边与斜边的比都等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
综上可知, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 当 $\angle A=30^{\circ}$ 时, $\angle A$ 的对边与斜边的比都等于 $\frac{1}{2}$, 是一个固定值; 当 $\angle A=45^{\circ}$ 时, $\angle A$ 的对边与斜边的比都等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 也是一个固定值. 一般地, 当 $\angle A$ 是任意一个确定的锐角时, 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢?
## 探究
任意画 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ (图 28. 1-3), 使得 $\angle C=\angle C^{\prime}=90^{\circ}, \angle A=$ $\angle A^{\prime}$, 那么 $\frac{B C}{A B}$ 与 $\frac{B^{\prime} C^{\prime}}{A^{\prime} B^{\prime}}$ 有什么关系? 你能解释一下吗?
图 28.1-3
在图28.1-3中，由于 $\angle C = \angle C^{\prime} = 90^{o}, \angle A = \angle A^{\prime}, 所以Rt\triangle ABC \sim Rt \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 因此
即
$$
\begin{aligned}
\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}} & =\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}, \\
\frac{B C}{A B} & =\frac{B^{\prime} C^{\prime}}{A^{\prime} B^{\prime}} .
\end{aligned}
$$
这就是说, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, 当锐角 $A$ 的度数一定时, 无论这个直角三角形大小如何, $\angle A$ 的对边与斜边的比都是一个固定值. 如图 28.1-4, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 我们把锐角 $A$ 的对边与斜边的比叫做 $\angle A$ 的正弦 (sine), 记作 $\sin A$, 即
$$
\sin A=\frac{\angle A \text { 的对边 }}{\text { 斜边 }}=\frac{a}{c} \text {. }
$$
例如, 当 $\angle A=30^{\circ}$ 时, 我们有
$$
\sin A=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}
$$
当 $\angle A=45^{\circ}$ 时, 我们有
$$
\sin A=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} \text {. }
$$
$\angle A 的正数 sin A 随着 \angle A 的变化而变化。$
$例1$ 如图 28.1-5, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 求 $\sin A$ 和 $\sin B$ 的值.
$解：$ 如图 (1), 在 Rt $\triangle A B C$ 中, 由勾股定理得
$$
A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5 \text {. }
$$
因此 $\sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{3}{5}$,
$$
\sin B=\frac{A C}{A B}=\frac{4}{5} .
$$
如图 (2), 在 Rt $\triangle A B C$ 中, 由勾股定理得
$$
A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12 .
$$
求 $\sin A$ 就是要确定 $\angle A$ 的对边与斜边的比; 求 $\sin B$ 就是要确定 $\angle B$ 的对边与斜边的比.
因此 $\sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{5}{13}$,
$$
\sin B=\frac{A C}{A B}=\frac{12}{13}
$$
$求 sin A 就是要确定 \angle A 的对边与斜边的比;求 sin B就是要确定 \angle B 的对边与斜边的比.$
图 28.1-4
(1)
(2)
图 28. 1-5
## 练习
1. 如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 求 $\sin A$ 和 $\sin B$ 的值.
(1)
(2)
(第 1 题)
2. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$, 求 $\sin A$ 的值.
## 探究
如图 28. 1-6, 在 $\operatorname{Rt} \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 当 $\angle A$ 确定时, $\angle A$ 的对边与斜边的比随之确定. 此时, 其他边之间的比是否也随之确定呢? 为什么?
图 28. 1-6
类似正弦的情况, 利用相似三角形的知识可以证明 (请你自已完成证明), 在图 28.1-6 中, 当 $\angle A$ 确定时, $\angle A$ 的邻边与斜边的比、 $\angle A$ 的对边与邻边的比都是确定的. 我们把 $\angle A$ 的邻边与斜边的比叫做 $\angle A$ 的$余弦$ (cosine), 记作 $\cos A$ ，即
$$
\cos A=\frac{\angle A \text { 的邻边 }}{\text { 斜边 }}=\frac{b}{c} \text {; }
$$
把 $\angle A$ 的对边与邻边的比叫做 $\angle A$ 的$正切$(tangent)，记作 $\tan A$, 即
$$
\tan A=\frac{\angle A \text { 的对边 }}{\angle A \text { 的邻边 }}=\frac{a}{b} \text {. }
$$
$\angle A$ 的正弦、余弦、正切都是 $\angle A$ 的$锐角三角函数$ (trigonometric function of acute angle).
对于锐角 $A$ 的每一个确定的值, $\sin A$ 有唯一确定的值与它对应, 所以 $\sin A$ 是 $A$ 的函数. 同样地, $\cos A$, $\tan A$ 也是 $A$ 的函数.
$例2$ 如图 28.1-7, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=$ $90^{\circ}, A B=10, B C=6$, 求 $\sin A, \cos A, \tan A$ 的值.
解：由勾股定理得
$A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,
因此
$$
\sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\\
\quad \quad \quad \\
\cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},\\
\quad \quad \quad \\
\tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} .
$$
图 28.1-7
## 练习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
(1)
(2)
(第 1 题)
2. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$. 如果各边长都扩大到原来的 2 倍, 那么 $\angle A$ 的正弦值、余弦值和正切值有变化吗? 说明理由.
## 探究
两块三角尺(图 28.1-8) 中有几个不同的锐角? 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少?
图 28. 1-8
$30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ 角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
| 锐角三角函数 | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | 60 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sin A$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos A$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan A$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ |
设图 28.1-8 中每块三角尺较短的边长均为 1 , 利用勾股定理和锐角三角函数的定义可以求出这些锐角三角函数值.
$\sin ^{2} 60^{\circ}$ 表示
$\left(\sin 60^{\circ}\right)^{2}$, 即 $\left(\sin 60^{\circ}\right)$.
$\left(\sin 60^{\circ}\right)$.
$例3$ 求下列各式的值:
(1) $\cos ^{2} 60^{\circ}+\sin ^{2} 60^{\circ}$;
(2) $\frac{\cos 45^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}-\tan 45^{\circ}$.
$解:$
(1)
$$
\begin{aligned}
& \cos ^{2} 60^{\circ}+\sin ^{2} 60^{\circ} \\
& =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \\
& =\text{1} ;
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
& \frac{\cos 45^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}-\tan 45^{\circ} \\
= & \frac{\sqrt{2}}{2} \div \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \\
= & 0 .
\end{aligned}
$$
$例4$ (1) 如图 28. 1-9(1), 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A B=\sqrt{6}, B C=$ $\sqrt{3}$, 求 $\angle A$ 的度数.
(2) 如图 28. 1-9(2), $A O$ 是圆雉的高, $O B$ 是底面半径, $A O=\sqrt{3} O B$, 求 $\alpha$ 的度数.
解：(1) 在图 28.1-9(1) 中,
$\because \quad \sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore \angle A=45^{\circ}$.
(2) 在图 28.1-9(2) 中,
$\because \tan \alpha=\frac{A O}{O B}=\frac{\sqrt{3} O B}{O B}=\sqrt{3}$,
$\therefore \alpha=60^{\circ}$.
当 $A, B$ 均为锐角时, 若 $A \neq B$, 则
$$
\sin A \neq \sin B, \\
\cos A \neq \cos B, \\
\tan A \neq \tan B. \\
$$
(1)
(2)
图 28. 1-9
练习
1. 求下列各式的值:
(1) $1-2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}$;
(2) $3 \tan 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}+2 \sin 60^{\circ}$;
(3) $\left(\cos ^{2} 30^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ}\right) \times \tan 60^{\circ}$.
2. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, B C=\sqrt{7}, A C=\sqrt{21}$, 求 $\angle A, \angle B$ 的度数.
通过上面的学习, 我们知道, 当锐角 $A$ 是 $30^{\circ}, 45^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 等特殊角时, 可以求得这些特殊角的锐角三角函数值; 如果锐角 $A$ 不是这些特殊角, 怎样得到它的锐角三角函数值呢?
我们可以借助计算器求锐角三角函数值.
例如求 $\sin 18^{\circ}$, 利用计算器的 $\sin$ 键, 并输人角度值 18 , 得到结果 $\sin 18^{\circ}=0.309016994$.
又如求 $\tan 30^{\circ} 36^{\prime}$, 利用 $\tan$ 键, 并输人角的度、分值 (可以使用 ${ }^{\circ} 1$ 键), 就可以得到结果 0. 591398351 .
因为 $30^{\circ} 36^{\prime}=30.6^{\circ}$, 所以也可以利用 $\tan$ 键,并输人角度值 30.6 , 同样得到结果 0.591398351 .
如果已知锐角三角函数值, 也可以使用计算器求出相应锐角的度数.
例如, 已知 $\sin A=0.501$ 8, 用计算器求锐角 $A$ 可以按照下面方法操作:
依次按键 2nd $\mathrm{F}$, $\sin$, 然后输人函数值 0.501 8, 得到 $\angle A=30.119158$
$67^{\circ}$ (这说明锐角 $A$ 精确到 $1^{\circ}$ 的结果为 $30^{\circ}$ ).
还可以利用 2nd F $\circ \prime$ 键, 进一步得到 $\angle A=30^{\circ} 07^{\prime} 08.97^{\prime \prime}$ (这说明锐角 $A$ 精确到 $1^{\prime}$ 的结果为 $30^{\circ} 7^{\prime}$, 精确到 $1^{\prime \prime}$ 的结果为 $30^{\circ} 7^{\prime} 9^{\prime \prime}$ ).
利用计算器求锐角三角函数值, 或已知锐角三角函数值求相应锐角的度数时, 不同的计算器操作步骤可能有所不同.
## 隹3
1. 用计算器求下列锐角三角函数值：
(1) $\sin 20^{\circ}, \cos 70^{\circ}$; \
$\sin 35^{\circ}, \cos 55^{\circ} ;$ \
$\sin 15^{\circ} 32^{\prime}, \cos 74^{\circ} 28^{\prime} ;$
(2) $\tan 3^{\circ} 8^{\prime}, \tan 80^{\circ} 25^{\prime} 43^{\prime \prime}$.
2. 已知下列锐角三角函数值, 用计算器求其相应锐角的度数:
(1) $\sin A=0.6275, \sin B=0.0547$;
(2) $\cos A=0.6252, \cos B=0.1659$;
(3) $\tan A=4.8425, \tan B=0.8816$.
分析第 1(1)题的结果, 你能得出什么猜想？你能说明自己的猜想吗?
## 习题 28.1
## 复习巩固
1. 分别求出图中 $\angle A, \angle B$ 的正弦值、余弦值和正切值.
(1)
(2)
(3)
(第 1 题)
2. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$. 当 $\angle A$ 确定时, 它的正弦值是否随之确定? 余弦值呢? 正切值呢? 为什么?
3. 求下列各式的值:
(1) $\sin 45^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2) $\sin 45^{\circ} \cos 60^{\circ}-\cos 45^{\circ}$;
(3) $\cos ^{2} 45^{\circ}+\tan 60^{\circ} \cos 30^{\circ}$;
(4) $\frac{1-\cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}+\tan 30^{\circ}$.
4. 用计算器求图中 $\angle A$ 的正弦值、余弦值和柾切值.
(1)
(2)
(3)
(第 4 题)
5. 已知下列锐角三角函数值, 用计算器求锐角 $A, B$ 的度数:
(1) $\sin A=0.7, \sin B=0.01$;
(2) $\cos A=0.15$, $\cos B=0.8$;
(3) $\tan A=2.4, \tan B=0.5$.
## 综合运用
6. 如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高, $\angle A \neq 45^{\circ}$, 则下列比值中不等于 $\sin A$ 的是  $(\quad)$.
(A) $\frac{C D}{A C}$
>(B) $\frac{B D}{C B}$
(C) $\frac{C B}{A B}$
(D) $\frac{C D}{C B}$
(第 6 题)
7. 如图, 焻接一个高 $3.5 \mathrm{~m}$, 底角为 $32^{\circ}$ 的人字形(等腰三角形)钢架, 约需多长的钢材 (结果保留小数点后两位)?
(䈳 7 题)
8. 如图, 一块平行四边形木板的两条邻边的长分别为 $62.31 \mathrm{~cm}$ 和 $35.24 \mathrm{~cm}$, 它们的夹角为 $35^{\circ} 40^{\prime}$, 求这块木板的面积 (结果保留小数点后两位).
(䈈 8 题)
## 拓广㮠索
9. 用计算器求下列锐角三角函数值, 并填入表中:
| 锐角 $A$ | $\cdots$ | $15^{\circ}$ | $18^{\circ}$ | $20^{\circ}$ | $22^{\circ}$ | $\cdots$ | $80^{\circ}$ | $82^{\circ}$ | $84^{\circ}$ | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sin A$ |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| $\cos A$ |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| $\tan A$ |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
随着锐角 $A$ 的度数不断增大, $\sin A$ 有怎样的变化趋势? $\cos A$ 呢? $\tan A$ 姳? 你能说明自己的结论吗?
10. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$. $\angle A$ 的正弦、余弦之间有什么关系? (提示：利用锐角三角函数的定义及勾股定理.)
## 阅读与思考
$$
一张古老的 “三角函数表”
$$
人们很早就开始研究天文学, 以便通过观察天上日月星辰的位置和运行情况, 解决有关计时、历法、航海、地理等许多问题. 对天体的观察和测量离不开计算, 这促进了数学的发展, 三角函数的产生和发展与天文学有密切的关系.
保存至今的一张古老的 “三角函数表”, 是 2 世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密 (Ptolemy) 所著的《天文学大成》一书中的一张“弦表”, 它对当时的天文计算有重要作用. 这张 “弦表”和我们现在所用的正弦、余弦表有所不同, 它是把半径为 60 (古代巴比伦人采用 60 进制记数, 这也影咆了希脂人)的圆中度数是 $\theta$ 的弧(即圆心角 $\theta$ 所对的弧) 所对的弦长制成了表, 其中 $\theta$ 从 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 每隔 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\circ}$ 依次取值.
你可能会想, 这张“弦表”中的弧、弦长等与锐角三角函数有关吗?
利用我们现在已经学习过的圆和锐角三角函数的知识可知, 半径 $r$ 、圆心角 $\theta$ 及其所对的弦长 $l$ 之间的关系为 $l=2 r \sin \frac{\theta}{2}$ (图 1), 从而 $\sin \frac{\theta}{2}=\frac{l}{2 r}$. 可见, 当 $r$ 为固定值, $\theta, l$ 在表中对应给出时, 就可以得到 $\sin \frac{\theta}{2}$ 的值. 因此, 这张 “弦表” 表面上是由弧的度数 $\theta$ 对应弦长 $l$, 实际上隐含了与 $\theta$ 对应的 $\sin \frac{\theta}{2}$ 的值. 也就是说, 它相当于现在的正弦 $(\sin \alpha)$ 表, 其中的角 $\alpha\left(=\frac{\theta}{2}\right)$ 从 $\left(\frac{1}{4}\right)^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$ 每膈 $\left(\frac{1}{4}\right)^{\circ}$ 依次取值.
托勒密在 《天文学大成》一书中还介绍了他利用几何方法推导 “弦表” 的过程, 这需要进行许多严密的推理和仔细的计算. 由于当时既没有现成的计算公式, 又没有先进的计算工具, 所以制作这张 “弦表” 要付出艰辛的努力. 这张 “弦表” 极大地促进了三角学在天文测量等应用方面的发展, 人们可以直接利用上述计算结果解决有关问题，这带来很多便利，因此托勒密编制 “弦表” 在数学史上是值得纪念的一大贡献.
随着人们对数学研究的不断深入, 正弦、余弦、正切等锐角三角函数进一步发展成三角函数, 对数的产生极大地提高了三角函数计算速度, 微积分的出现又带来利用级数计算三角函数的方法 $\cdots \cdots$. 后来的三角函数表正是在这些成果的基础上的不断改进. 在科学研究、生产实践、军事活动等诸多领域中, 这些三角函数表比托勒密编制的 “弦表” 发挥了大得多的作用, 它们成为许多人手中应用极其广迅的计算工具.
图 1
托勒密
## 28.2 解直角三角形及其应用
## 28.2.1 解直角三角形
我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题.
1972 年的情形：设塔顶中心点为 $B$, 塔身中心线与垂直中心线的夹角为 $\angle A$, 过点 $B$ 向垂直中心线引垂线, 垂足为点 $C$ (图 28.2-1). 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, B C=5.2 \mathrm{~m}$, $A B=54.5 \mathrm{~m}$, 因此
$$
\sin A=\frac{B C}{A B}=\frac{5.2}{54.5} \approx 0.0954,
$$
利用计算器可得 $\angle A \approx 5^{\circ} 28^{\prime}$.
类似地, 可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角. 你能求出来吗?
如果将上述实际问题抽象为数学问题, 就是已知直角三角形的斜边和一条直角边, 求它的锐角的度数.
一般地, 直角三角形中, 除直角外, 共有五个元素, 即三条边和两个锐角. 由直角三角形中的已知元素, 求出其余末知元素的过程, 叫做解直角三角形.
图 28. 2-1
## 探究
(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有娜些关系?
(2) 知道五个元素中的几个, 就可以求其余元素?
如图 28. 2-2, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C$ 为直角, $\angle A$, $\angle B, \angle C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 那么除直角 $\angle C$ 外的五个元素之间有如下关系：
(1)三边之间的关系
$$
a^{2}+b^{2}=c^{2} \text { (勾股定理); }
$$
(2)两锐角之间的关系
$$
\angle A+\angle B=90^{\circ} \text {; }
$$
(3)边角之间的关系
$$
\begin{aligned}
& \sin A=\frac{\angle A \text { 的对边 }}{\text { 斜边 }}=\frac{a}{c}, \\
& \cos A=\frac{\angle A \text { 的邻边 }}{\text { 斜边 }}=\frac{b}{c}, \\
& \tan A=\frac{\angle A \text { 的对边 }}{\angle A \text { 的邻边 }}=\frac{a}{b} .
\end{aligned}
$$
上述(3)中的 $A$ 都可以换成 $B$, 同时把 $a, b$ 互换.
利用这些关系, 知道其中的两个元素 (至少有一个是边), 就可以求出其余三个末知元素.
$例1$ 如图 28.2-3, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, $A C=\sqrt{2}, B C=\sqrt{6}$, 解这个直角三角形.
$解:$ $\because \tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$,
$\therefore \angle A=60^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}, \\
& A B=2 A C=2 \sqrt{2} .
\end{aligned}
$$
$例2$ 如图 28. 2-4, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B=$ $35^{\circ}, b=20$, 解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
$解:$ $\angle A=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$.
$\because \tan B=\frac{b}{a}$,
$\therefore \quad a=\frac{b}{\tan B}=\frac{20}{\tan 35^{\circ}} \approx 28.6$.
$\because \sin B=\frac{b}{c}$,
$\therefore \quad c=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sin 35^{\circ}} \approx 34.9$.
你还有其他方法求出 c 吗？
图 28. 2-2
图 28. 2-3
图 28. 2-4
## 练习
在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 根据下列条件解直角三角形:
(1) $c=30, b=20$;
(2) $\angle B=72^{\circ}, c=14$;
(3) $\angle B=30^{\circ}, a=\sqrt{7}$.
## 28.2.2 应用举例
解直角三角形的应用非常广泛，下面举一些例子.
$例3$ 2012 年 6 月 18 日, “神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与 “天宫” 一号的组合体在离地球表面 $343 \mathrm{~km}$ 的圆形轨道上运行, 如图 $28.2-5$, 当组合体运行到地球表面 $P$ 点的正上方时, 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与 $P$ 点的距离是多少 (地球半径约为 $6400 \mathrm{~km}, \pi$ 取 3.142, 结果取整数)?
在解决例 3 的问题时, 我们综合运用 $了$ 圆和解直角三角形的知识.
$分析：$ 从组合体中能直接看到的地球表面最远点, 是视线与地球相切时的切点.
如图 28.2-5, 本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的 $\odot O$ 的有关问题：其中点 $F$ 是组合体的位置, $F Q$ 是 $\odot O$ 的切线, 切点 $Q$ 是从组合体中观测地球时的最远点, $\overparen{P Q}$ 的长就是地球表面上 $P, Q$ 两点间的距离. 为计算 $\overparen{P Q}$ 的长需先求出 $\angle P O Q$ (即 $\alpha$ ) 的度数.
$解：$设 $\angle P O Q=\alpha$, 在图 28.2-5 中, $F Q$ 是 $\odot O$ 的切线, $\triangle F O Q$ 是直角三角形.
$\because \quad \cos \alpha=\frac{O Q}{O F}=\frac{6400}{6400+343} \approx 0.9491$,
$\therefore \alpha \approx 18.36^{\circ}$.
$\therefore \overparen{P Q}$ 的长为
$$
\frac{18.36 \pi}{180} \times 6400 \approx \frac{18.36 \times 3.142}{180} \times 6400 \approx 2051(\mathrm{~km}) .
$$
由此可知, 当组合体在 $P$ 点正上方时, 从中观测地球表面时的最远点距离 $P$ 点约 $2051 \mathrm{~km}$.
$例4$ 热气球的探测器显示, 从热气球看一栋楼顶部的仰角为 $30^{\circ}$, 看这栋楼底部的俯角为 $60^{\circ}$, 热气球与楼的水平距离为 $120 \mathrm{~m}$, 这栋楼有多高(结果取整数)?
$分析:$ 我们知道，在视线与水平线所成的角中, 视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角. 因此, 在图 28.2-6 中, $\alpha=30^{\circ}, \beta=60^{\circ}$.
在 Rt $\triangle A B D$ 中, $\alpha=30^{\circ}$, $A D=120$, 所以可以利用解直角三角形的知识求出 $B D$; 类似地可以求出 $C D$, 进而求出 $B C$.
$解:$ 如图 28.2-6, $\alpha=30^{\circ}, \beta=60^{\circ}, A D=120$.
$\because \tan \alpha=\frac{B D}{A D}, \tan \beta=\frac{C D}{A D}$,
$\therefore B D=A D \cdot \tan \alpha=120 \times \tan 30^{\circ}$
$=120 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=40 \sqrt{3}$,
$C D=A D \cdot \tan \beta=120 \times \tan 60^{\circ}$
$=120 \times \sqrt{3}=120 \sqrt{3}$.
$\therefore B C=B D+C D=40 \sqrt{3}+120 \sqrt{3}$
$=160 \sqrt{3} \approx 277(\mathrm{~m})$.
因此, 这栋楼高约为 $277 \mathrm{~m}$.
图 28. 2-5
图 28. 2-6
## 䢺习
1. 如图, 建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$, 从与 $B C$ 相距 $40 \mathrm{~m}$ 的 $D$ 处观测旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $50^{\circ}$, 观测旗杆底部 $B$ 的仰角为 $45^{\circ}$, 求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).
(第 1 题)
2. 如图, 沿 $A C$ 方向开山修路. 为了加快施工进度, 要在小山的另一边同时施工. 从 $A C$ 上的一点 $B$ 取 $\angle A B D=140^{\circ}, B D=520 \mathrm{~m}, \angle D=50^{\circ}$. 那么另一边开挖点 $E$ 离 $D$ 多远正好使 $A, C, E$ 三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?
(第 2 题)
$例5$ 如图 28.2-7, 一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东 $65^{\circ}$ 方向, 距离灯塔 $80 \mathrm{n}$ mile 的 $A$ 处, 它沿正南方向航行一段时间后, 到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $34^{\circ}$ 方向上的 $B$ 处. 这时， $B$ 处距离灯塔 $P$ 有多远 (结果取整数)?
$解：$如图 28.2-7, 在 $\operatorname{Rt} \triangle A P C$ 中,
$$
\begin{aligned}
P C & =P A \cdot \cos \left(90^{\circ}-65^{\circ}\right) \\
& =80 \times \cos 25^{\circ} \\
& \approx 72.505 .
\end{aligned}
$$
在 $\operatorname{Rt} \triangle B P C$ 中, $\angle B=34^{\circ}$ ，
$\because \quad \sin B=\frac{P C}{P B}$
$\therefore \quad P B=\frac{P C}{\sin B}=\frac{72.505}{\sin 34^{\circ}} \approx 130$ (n mile) .
因此，当海轮到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $34^{\circ}$ 方向时，它距离灯塔 $P$ 大约 $130 \mathrm{n}$ mile.
图 28. 2-7
## 归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1) 将实际问题抽象为数学问题 (画出平面图形, 转化为解直角三角形的问题);
(2)根括问题中的条件, 适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
(3) 得到数学问题的答案;
(4) 得到实际问题的答案.
## 练习
1. 如图, 海中有一个小岛 $A$, 它周围 $8 \mathrm{n}$ mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行, 在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 方向上, 航行 $12 \mathrm{n}$ mile 到达 $D$ 点, 这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30^{\circ}$ 方向上. 如果渔船不改变航线继续向东航行, 有没有触礁的危险?
(第 1 题)
2. 如图, 拦水坝的横断面为梯形 $A B C D, A F=D E=6 \mathrm{~m}$. 斜面坡度 $i=1: 1.5$ 是指坡面的铅直高度 $A F$ 与水平宽度 $B F$ 的比, 斜面坡度 $i=1: 3$ 是指 $D E$ 与 $C E$ 的比. 根据图中数据, 求:
(1) 坡角 $\alpha$ 和 $\beta$ 的度数;
(2) 斜坡 $A B$ 的长(结果保留小数点后一位).
(第 2 题)
## 习题 28.2
## 复习巩固
1. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 根据下列条件解直角三角形:
(1) $c=8, \angle A=30^{\circ}$;
(2) $b=7, \angle A=15^{\circ}$;
( 3) $a=5, b=12$.
2. 如图, 厂房屋顶人字架 (等腰三角形) 的跨度 $B C=10 \mathrm{~m}, \angle B=36^{\circ}$, 求中柱 $A D$ ( $D$ 为底边中点) 和上弦 $A B$ 的长 (栝果保留小数点后一位).
(第 2 题)
3. 如图, 某飞机于空中 $A$ 处探测到目标 $C$, 此时飞行高度 $A C=1200 \mathrm{~m}$, 从飞机上看地平面指挥台 $B$ 的俯角 $\alpha=16^{\circ} 31^{\prime}$. 求飞机 $A$ 与指挥台 $B$ 的距离 (结果取整数).
(第 3 题)
4. 从高出海平面 $55 \mathrm{~m}$ 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号, 从灯塔看帄船的偏角为 $21^{\circ}$, 此时忛船距灯塔有多远 (结果取整数)?
5. 如图, 在山坡上种树, 要求株距(相邻两树间的水平距离)是 $5.5 \mathrm{~m}$. 测得斜坡的倾斜角是 $24^{\circ}$ ，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位).
(第 5 题)
## 综合运用
6. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$.
(1)已知 $\angle A, c$, 写出解 Rt $\triangle A B C$ 的过程;
(2) 已知 $\angle A, a$, 写出解 Rt $\triangle A B C$ 的过程;
(3) 已知 $a, c$, 写出解 Rt $\triangle A B C$ 的过程.
7. 如图, 一座金字塔被发现时, 顶部已经荡然无存, 但底部末曾受损. 已知该金字塔的下底面是一个边长为 $130 \mathrm{~m}$ 的正方形, 且每一个侧面与底面成 $65^{\circ}$ 角, 这座金字塔原来有多高 (结果取整数)？
(第 7 题)
8. 如图, 一枚运载火箭从地面 $L$ 处发射. 当火箭到达 $A$ 点时, 从位于地面 $R$ 处的雷达站测得 $A R$ 的距离是 $6 \mathrm{~km}$, 仰角为 $43^{\circ} ; 1 \mathrm{~s}$ 后火箭到达 $B$ 点, 此时测得仰角为 $45.54^{\circ}$. 这枚火箭从 $A$ 到 $B$ 的平均速度是多少 (结果取小数点后两位)?
(第 8 题)
9. 为方便行人横过马路, 打算修建一座高 $5 \mathrm{~m}$ 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 $1: 1.5$, 计算斜坡 $A B$ 的长度 (结果取整数).
(第 9 题)
## 拓广㧠索
10. 海中有一小岛 $P$, 在以 $P$ 为圆心、半径为 $16 \sqrt{2} \mathrm{n}$ mile 的圆形海域内有暗礁.一轮船自西向东航行, 它在 $A$ 处时测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60^{\circ}$ 方向上, 且 $A, P$ 之间的距离为 $32 \mathrm{n}$ mile. 若轮船继续向佂东方向航行, 轮船有无触礁危险? 请通过计算加以说明. 如果有危险, 轮船自 $A$ 处开始沿南偏东多少度的方向鸼行, 能安全通过这一海域?
11. 根据图中标出的百慕大三角的位置, 计算百慕大三角的面积 (结果取整数). (提示: 它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积.)
(第 11 题)
多年来，很多船只、飞机都在大西洋的一个区域内神秘失踪, 这个区域称为百慕大三角. 直至现在, 人们仍末能破解这个秘密.
## 阅读与思考
$$
山坡的高度
$$
当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 $h$ 时, 只要测出坡角 $\alpha$ 和大坝的坡面长度 $l$, 就能算出 $h=l \sin \alpha$. 但是, 当我们要测量如图 2 所示的山高 $h$ 时, 问题就不那么简单了.
比较这两个测量问题，你想到了什么?
在测量大坝的高度时, 由于坝坡、坝高与水平线构成直角三角形, 因此解直角三角形可得顺高. 与测量坝高相比, 测量山高的困难在于, 山坡是 “曲”的, 问题不能简単地归结为解一个直角三角形. 如果能把 “曲” 转化为 “直”, 就可能解决问题.
我们设法 “化曲为直, 以直代曲”。我们可以把山坡“化整为零” 地划分为一些小段, 图 3 表示其中一部分小段. 划分小段时, 注意使每一小段上的山坡近似是 “直”的, 可以量出这段坡长 $l_{i}$, 测出相应的坡角 $\alpha_{i}$, 这样就可以算出这段山坡的高度 $h_{i}=l_{i} \sin \alpha_{i}$.
在每个小段上, 我们都构造出直角三角形, 利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 $h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n}$, 然后我们 “积零为整”, 把 $h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n}$ 相加, 于是得到山高 $h$.
以上解决问题中所用的 “先化整为零, 又积零为整” “化曲为直, 以直代曲”的做法, 体现了微积分的基本思想. 它在数学中有重要地位, 今后的学习中你会更多地了解这方面的内容.
图 1
图 2
图 3
## 数学活动
活动1 制作量角仪，测量树的高度
(1) 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处, 细线的另一端系一个小重物, 制成一个简单的测角仪, 利用它可以测量仰角或俯角 (图 1);
(2) 将这个仪器用手托起, 拿到眼前, 使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点(图 2);
(3) 得出仰角 $\alpha$ 的度数;
(4) 测出你到树的底部的距离;
(5) 计算这棵树的高度.
图 1
图 2
活动2利用量角仪测量塔高
(1)在塔前的平地上选择一点 $A$, 用活动 1 中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角 $\alpha$ (图 3)；
(2)在 $A$, 点和塔之间选择一点 $B$, 测出你由 $B$ 点看塔顶的仰角 $\beta$;
(3)量出 $A, B$ 两点间的距离;
(4)计算塔的高度.
图 3
## 小结
## 一、本章知识结构图
直角三角形中的边角关系锐角 $\longrightarrow$ 三角函数解直角 $\longrightarrow$ 三角形实际问题
## 二、回顾与思考
本章我们学习了锐角三角函数, 它反映了直角三角形中边角之间的关系. 即无论 Rt $\triangle A B C$ 的大小如何, 只要给定锐角 $A$, 则 $\angle A$ 的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比就随之确定, 由此定义了锐角三角函数. 利用这一关系, 结合勾股定理等, 就可以解决各种与直角三角形度量有关的问题.
由直角三角形全等的判定定理可知, 一个直角三角形可以由它的三条边和两个锐角这五个元素中的两个(其中至少有一个是边)唯一确定. 有了锐角三角函数知识, 结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理, 就可由这两个元素的大小求出其他元素的大小, 这就是解直角三角形. 由此可见, 关注各部分内容之间的联系, 对我们更深入地理解相关知识, 提高灵活应用知识的能力等都很有帮助.
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧.
1. 锐角三角函数是如何定义的? 总结锐角三角函数的定义过程, 并写出直角三角形中两个锐角的三角函数.
2. 两个直角三角形全等要具备什么条件? 为什么在直角三角形中, 已知一条边和一个锐角, 或两条边, 就能解这个直角三角形?
3. 你能根据不同的已知条件 (例如, 已知斜边和一个锐角), 归纳相应的解直角三角形的方法吗?
4. 锐角三角函数在实践中有广泛的应用, 你能举例说明这种应用吗?
## 复习题28
## 复习巩固
1. 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, a=2, c=6$, 求 $\sin A, \cos A$ 和 $\tan A$ 的值.
2. 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}, A C=4 \sqrt{3}$, 求 $B C$ 的长.
3. 求下列各式的值:
(1) $\sqrt{2} \cos 45^{\circ}-\tan 45^{\circ}$;
(2) $\sqrt{3} \sin 60^{\circ}+\tan 60^{\circ}-2 \cos ^{2} 30^{\circ}$.
4. 用计算器求下列各式的值:
(1) $\cos 76^{\circ} 39^{\prime}+\sin 17^{\circ} 52^{\prime}$;
(2) $\sin 57^{\circ} 18^{\prime}-\tan 22^{\circ} 30^{\prime}$;
(3) $\tan 83^{\circ} 6^{\prime}-\cos 4^{\circ} 59^{\prime}$;
(4) $\tan 12^{\circ} 30^{\prime}-\sin 15^{\circ}$.
5. 已知下列锐角的三角函数值, 用计算器求锐角 $A$ 的度数：
(1) $\cos A=0.7651$;
(2) $\sin A=0.9343$;
(3) $\tan A=35.26$;
(4) $\tan A=0.707$.
6. 等腰三角形的底角是 $30^{\circ}$, 腰长为 $2 \sqrt{3}$, 求它的周长.
7. 从一艘船上測得海岸上高为 $42 \mathrm{~m}$ 的灯塔顶部的仰角为 $33^{\circ}$ 时, 船离海岸多远(络果取整数)?
## 综合运用
8. 如图, 两座建筑物的水平距离 $B C$ 为 $32.6 \mathrm{~m}$, 从 $A$ 点測得 $D$ 点的俯角 $\alpha$ 为 $35^{\circ} 12^{\prime}$, 测得 $C$ 点的俯角 $\beta$ 为 $43^{\circ} 24^{\prime}$, 求这两座建筑物的高度 (结果保留小数点后一位).
(第 8 题)
9. 某型号飞机的机翼形状如图所示, 根据图中数据计算 $A C, B D$ 和 $A B$ 的长度(结果保留小数点后两位).
(第 9 题)
10. 如图, 要想使人安全地攀上斜靠在坤面上的梯子的顶端, 梯子与地面所成的角 $a$ 一般要满足 $50^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 75^{\circ}$. 现有一架长 $6 \mathrm{~m}$ 的梯子.
(1) 使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)?
(2) 当梯子底端距离㘱面 $2.4 \mathrm{~m}$ 时, $\alpha$ 等于多少度 (结果取整数)? 此时人是否能够安全使用这架梯子?
(第 10 题)
11. 如图, 折叠矩形 $A B C D$ 的一边 $A D$, 使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $F$ 处. 已知折痕 $A E=5 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$, 且 $\tan \angle E F C=\frac{3}{4}$.
(1) $\triangle A F B$ 与 $\triangle F E C$ 有什么关系?
(2) 求矩形 $A B C D$ 的周长.
(第 11 题)
12. $\square A B C D$ 中, 已知 $A B, B C$ 及其夹角 $\angle B$ ( $\angle B$ 是锐角), 能求出 $\square A B C D$ 的面积 $S$ 吗? 如果能, 用 $A B, B C$ 及其夹角 $\angle B$ 表示 $S$.
## 拓广㮠索
13. 已知圆的半径为 $R$.
(1) 求这个圆的内接正 $n$ 边形的周长和面积;
(2)利用(1)的结果填写下表:
| 内接正 $n$ 边形 | 正六边形 | 正十二边形 | 正二十四边形 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 内接正 $n$ 边形的周长 |  |  |  |  |
| 内接正 $n$ 边形的面积 |  |  |  |  |
观察上表, 随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势? 与圆的周长 (面积) 进行比较, 你能得出什么结论?
14. 如图, 在锐角 $\triangle A B C$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A}, \frac{b}{\sin B}$, $\frac{c}{\sin C}$ 之间的关系.(提示：分别作 $A B$ 和 $B C$ 边上的高.)
(第 14 题)
## 第二十九章 投影与视图
你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗? 影子和物体有着怎样的联系呢? 人们从光线照射物体会产生影子得到启发, 得出了投影的有关知识, 并用这些知识来绘制视图. 在生产实践中, 制造机器, 建筑高楼, 设计火箭 $\cdots \cdots .$. 无一不和视图密切相关.
本章我们将学习投影的有关知识, 并借助投影原理认识视图, 再进一步讨论: 如何由立体图形画出三视图? 如何由三视图想象出立体图形? 通过本章的学习, 同学们会进一步提高对空间图形的认识.
## 29.1 投影
物体在日光或灯光的照射下, 会在地面、墙壁等处形成影子(图 29.1-1). 影子既与物体的形状有关, 也与光线的照射方式有关.
一般地, 用光线照射物体, 在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的$投影$ (projection), 照射光线叫做投影线, 投影所在的平面叫做投影面.
有时光线是一组互相平行的射线, 例如探照灯中的光线 (图 29.1-2). 太阳离我们非常远, 射到地面的太阳光也可以看成一组互相平行的射线. 由平行光线形成的投影叫做$平行投影$ (parallel projection). 例如, 物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影. 日影的方向可以反映当地时间， 我国古代的计时器日昗 (图 29.1-3), 就是根据日影来观测时间的.
日畚是利用日影计时的仪器, 通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成. 用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻.
由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做$中心投影$(center projection). 例如, 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子 (图 29.1-4) 就是中心投影.
图 29.1-1
图 29.1-2
图 29.1-3
图 29. 1-4
## 练习
把下列物体与它们的投影用线连接起来.
## 思考
图 29.1-5 表示一块三角尺在光线照射下形成投影, 其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别? 图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
(1)
(2)
(3)
图 29.1-5
图 29.1-5 中, 图 (1) 中的投影线集中于一点, 形成中心投影; 图 (2)(3) 中，投影线互相平行, 形成平行投影. 图 (2) 中，投影线斜着照射投影面; 图 (3) 中投影线垂直照射投影面 ( 即投影线正对着投影面), 我们也称这种情形为投影线垂直于投影面. 像图 (3) 这样, 投影线垂直于投影面产生的投影叫做$正投影$.
在实际制图中，经常应用正投影.
## 探究
如图 29.1-6, 把一根直的细铁丝 (记为线段 $A B$ ) 放在三个不同位置:
(1) 铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面;
(3) 铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?
图 29.1-6
通过观察、测量可知:
(1) 当线段 $A B$ 平行于投影面时, 它的正投影是线段 $A_{1} B_{1}$, 它们的大小关系为 $A B=A_{1} B_{1}$;
(2) 当线段 $A B$ 倾斜于投影面时, 它的正投影是线段 $A_{2} B_{2}$, 它们的大小关系为 $A B>A_{2} B_{2}$;
(3) 当线段 $A B$ 垂直于投影面时, 它的正投影是一个点 $A_{3}$.
## 探究
如图 29.1-7, 把一块正方形硬纸板 $P$ (记为正方形 $A B C D$ )放在三个不同位置：
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状?
图 29.1-7
通过观察、测量可知:
(1)当纸板 $P$ 平行于投影面时， $P$ 的正投影与 $P$ 的形状、大小一样;
(2)当纸板 $P$ 倾斜于投影面时, $P$ 的正投影与 $P$ 的形状、大小不完全一样;
(3)当纸板 $P$ 垂直于投影面时, $P$ 的正投影成为一条线段.
## 归纳
当物体的某个面平行于投影面时, 这个面的正投影与这个面的形状、 大小完全相同.
$例$ 画出如图 29.1-8 摆放的正方体在投影面上的正投影.
(1) 正方体的一个面 $A B C D$ 平行于投影面 (图 29.1-8(1))；
(2) 正方体的一个面 $A B C D$ 倾斜于投影面,底面 $A D E F$ 垂直于投影面, 并且其对角线 $A E$ 垂直于投影面(图 29.1-8(2)).
不㝑用一个盒子作为模型，观察它在墙壁上的投影.
$分析：$ (1)当正方体在如图 29.1-8(1) 的位置时, 正方体的一个面 $A B C D$ 及与其相对的另一面与投影面平行, 这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. 正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的四条边分别是正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的投影. 因此, 正方体的正投影是一个正方形.
(2) 当正方体在如图 29.1-8(2) 的位置时, 它的面 $A B C D$ 和面 $A B G F$ 倾斜于投影面, 它们的投影分别是矩形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 和 $A^{\prime} B^{\prime} G^{\prime} F^{\prime}$; 正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形; 上、下底面的投影分别是线段 $D^{\prime} F^{\prime}$ 和 $C^{\prime} G^{\prime}$. 因此, 正方体的投影是矩形 $F^{\prime} G^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 其中线段 $A^{\prime} B^{\prime}$ 把矩形一分为二.
$解:$ (1) 如图 29.1-8(1), 正方体的正投影为正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 它与正方体的一个面是全等关系.
(2) 如图 29.1-8(2), 正方体的正投影为矩形 $F^{\prime} G^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 这个矩形的长等于正方体的底面对角线长, 矩形的宽等于正方体的棱长. 矩形上、 下两边中点连线 $A^{\prime} B^{\prime}$ 是正方体的侧棱 $A B$ 及它所对的另一条侧棱 $E H$ 的投影.
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
(1)
(2)
图 29.1-8
## 练习
如图，投影线的方向如箭头所示, 画出圆柱侇的正投影.
(1)
(2)
## 习题 29.1
## 复习巩固
1. 小华在不同时间于夭安门前拍了几幅照片, 下面哪幅照片是在下午拍掫的?
天安门是坐北朝南的建筑.
(篟 1 题)
2. 请用线把图中各物体与它们的投影连接起来.
(第 2 题)
## 综合运用
3. 如图, 右边的正五边形是光线由上到下照射一个正五棱柱(正棱柱的上、下底面都是正多边形, 并且侧棱垂直于底面)时的正投影, 你能指出这时正五椶柱的各个面的正投影分别是什么吗?
(第 3 题)
4. 一个圆锥的轴截面平行于投影面, 圆锥的正投影是边长为 3 的等边三角形, 求圆锥的体积和表面积.
## 拓广探索
5. 画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影:
(1) 投影线由物体前方照射到后方;
(2)投影线由物体左方照射到右方;
(3)投影线由物体上方照射到下方.
(第 5 题)
## 29.2三视图
当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图 (view). 视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影. 对于同一个物体, 如果从不同方向观察, 所得到的视图可能不同. 图 29.2-1 是同一本书的三个不同的视图.
你能说出这三个机图分别是从垹三个方向观察这本书时得到的吗?
我们知道, 单一的视图通常只能反映物体一个方面的形状. 为了全面地反映物体的形状, 生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状. 例如图 29.2-2 中右侧的三个视图, 可以多方面反映飞机的形状.
本章中, 我们只讨论三视图.
如图 29.2-3(1), 我们用三个互相垂直的平面(例如墙角处的三面墙壁) 作为投影面, 其中正对着我们的平面叫做正面, 下方的平面叫做水平面, 右边的平面叫做侧面. 对一个物体(例如一个长方体) 在三个投影面内进行正投影, 在正面内得到的由前向后观察物体的视图, 叫做主视图; 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图, 叫做俯视图; 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图, 叫做左视图.
三视图与以前我们学习的从三个方向看物体得到的平面图形是一致的. 现在我们从投影的角度认识这个问题, 并且对三个方向作出明确的规定.
如图 29.2-3(2), 将三个投影面展开在一个平面内, 得到这一物体的一张三视图(由主视图、俯视图和左视图组成). 三视图中的各视图, 分别从不同方面表示物体的形状, 三者合起来能够较全面地反映物体的形状.
三视图中, 主视图与俯视图可以表示同一个物体的长, 主视图与左视图可以表示同一个物体的高, 左视图与俯视图可以表示同一个物体的宽, 因此三个视图的大小是互相联系的. 画三视图时, 三个视图都要放在正确的位置, 并且注意主视图与俯视图的长对正, 主视图与左视图的高平齐, 左视图与俯视图的宽相等.
主视图在左上边， 它的正下方是俯视图, 左视图在主视图的右边.
正对着物体看, 物体左右之间的水平距离、前后之间的水平距离、上下之间的坚直距离，分别对应这里所说的长、宽、高. 从某一角度看物体时, 有些部分因被遮挡而看不见. 为全面反映立体图形的形状, 画图时规定: 看得见部分的轮廓线画成实线, 因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
在实际生活中人们经常遇到各种物体, 这些物体的形状虽然各不相同, 但它们一般由一些基本几何体(柱体、雉体、球等)组合或切割而成, 因此会画、会看基本几何体的视图非常必要.
$例1$ 画出图 29.2-4 中基本几何体的三视图.
正三棱柱的上、下底面均为正三角形，其余各面都是矩形.
主视图可以反映物体的长和高, 㑦视图可以反映物体的长和宽, 左视图可以反映物体的高和宽.
(3) 在主视图正右方画出左视图, 注意与主视图“高平齐”，与俯视图 “宽相等”;
(4) 为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线 (一————)表示对称轴.
$解:$ 如图 29.2-5 所示.
画出三视图后, 可以擦去图中的辅助线.
$例2$ 画出图 29.2-6 所示的支架 (一种小零件) 的三视图, 其中支架的两个台阶的高度和宽度相等.
$分析： 支架的形状是由两个大小不等的长方体构成的组合体. 画三视图时要注意这两个长方体的上下、前后位置关系.
$解:$ 图 29.2-7 是支架的三视图.
画组合体的三视图时, 构成组合体的各部分的视图也要遵守“长对正, 高平齐, 宽相等”的规律
图 29. 2-1
图 29. 2-2
图 29. 2-3
圆柱
(1)
正三棱柱
(2)
球
(3)
圆柱
(1)
正三棱柱
(2)
(3)
图 29.2-5
图 29.2-6
图 29. 2-7
## 练习
画出如图所示的正三棱柱、圆锥、半球的三视图.
(1)
(2)
(3)
前面我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图, 下面我们讨论由三视图想象出立体图形(实物).
$例3$ 如图 29.2-8, 分别根据三视图 (1) (2) 说出立体图形的名称.
$分析：$ 由三视图想象立体图形时, 首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面, 然后综合起来考虑整体图形.
$解：$ (1)从三个方向看立体图形, 视图都是矩形, 可以想象这个立体图形是长方体, 如图 29.2-9(1) 所示.
(2) 从正面、侧面看立体图形, 视图都是等腰三角形; 从上面看, 视图是圆; 可以想象这个立体图形是圆雉，如图 29.2-9(2) 所示.
$例4$ 根据物体的三视图 (图 29.2-10), 描述物体的形状.
请对照三视图与想象的立体图形，指出三视图中各线条分别是立体图形哪部分的投影. 分析: 由主视图可知, 物体正面是正五边形; 由俯视图可知, 由上向下看到物体有两个面的视图是矩形, 它们的交线是一条棱 (中间的实线表示), 可见到, 另有两条棱(虚线表示)被遮挡; 由左视图可知, 物体左侧有两个面的视图是矩形, 它们的
图 29. 2-11 交线是一条棱 (中间的实线表示), 可见到. 综合各视图可知, 物体的形状是正五棱柱.
$解:$ 物体是正五棱柱形状的, 如图 29.2-11 所示.
(1)
(2)
图 29. 2-8
(1)
(2)
图 29.2-9
图 29.2-10
## 练习
根据下列三视图, 描述物体的形状.
(1)
(3)
(2)
(4)
$例5$ 某工厂要加工一批密封罐, 设计者给出了密封罐的三视图 (图 29.2-12). 请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(图中尺寸单位: $\mathrm{mm}$ ).
$分析：$ 对于某些立体图形，沿着其中一些线(例如棱柱的棱)剪开, 可以把立体图形的表面展开成一个平面图形—展开图. 在实际生产中, 三视图和展开图往往结合在一起使用. 解决本题的思路是, 先由三视图想象出密封罐的形状, 再进一步画出展开图, 然后计算面积.
$解：$ 由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(图 29.2-13).
密封罐的高为 $50 \mathrm{~mm}$, 底面正六边形的直径为 $100 \mathrm{~mm}$, 边长为 $50 \mathrm{~mm}$, 图 29.2-14 是它的展开图.
由展开图可知, 制作一个密封罐所需钢板的面积为
$$
\begin{aligned}
& 6 \times 50 \times 50+2 \times 6 \times \frac{1}{2} \times 50 \times 50 \sin 60^{\circ} \\
= & 6 \times 50^{2} \times\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
\approx & 27990\left(\mathrm{~mm}^{2}\right) .
\end{aligned}
$$
图 29.2-12
图 29.2-13
图 29.2-14
## 练习
1. 根据下列几何体的三视图, 画出它们的展开图.
(1)
(2)
(第 1 题)
2. 某工厂加工一批无底帐篷, 设计者给出了帐篷的三视图. 请你按照三视图确定每顶帐篷的表面积(图中尺寸单位: $\mathrm{cm}$ ).
(第 2 题)
## 习题 29.2
## 复习巩固
1. 把图中的几何体与它们对应的三视图用线连接起来.
(第 1 题)
2. 婳出图中几何体的三视图.
长方体
圆柱
正五棱柱
(第 2 题)
3. 球的三视图与其損放位置有关吗? 为什么?
4. 根据下列三视图, 分别说艸它们表示的物体的形状.
(2)
(3)
(第 4 題)
## 综合运用
5. 根据下面的三视图, 说出这个几何体是由几个正方体怎样组合而成的.
(第 5 题)
6. 分别画出图中由 7 个小正方体组合而成的几何体的三视图.
(1)
(2)
(第 6 题) 7. 画出图中几何体的三视图.
(第 7 题)
8. 根据三视图, 描述这个物体的形状.
(第 8 题)
## 拓广探索
9. 由 5 个相同的小正方体搭成的物体的侂视图如图所示, 这个物体有几种搭法?
(第 9 题)
10. 如图是一个几何体的三视图 (图中尺寸单位： $\mathrm{cm}$ ), 根据图中所示数据计算这个几何体的表面积.
(第 10 题)
## 阅读与思考
$$
视图的产生与应用
$$
人们很早以前就认识到图形语言的特殊作用. 例如, 三千多年前, 古代埃及的建筑师们要清楚而详尽地表达他们设计的金字塔等建筑物, 只用文字表述不行, 必须画图说明. 在人们探索如何确切表示物体的立体形状的过程中, 产生并发展了视图.
画视图要考虑视线与物体的位置关系, 不同的位置关系产生不同的视觉效果, 这就是说, 研究视图不能不研究投影. 公元前 1 世纪, 古罗马建筑师维特焔厅斯写成了《建筑学》这部著作, 其中包括水平投影、正面投影、 中心投影和透视作图法的一些早期结果. 文艺复兴时期, 透视理论有了较大的发展. 这一时期许多艺术作品应用了透视原理，而透视原理与中心投影有密切的关系.
画法几何是几何学的一个分支, 视图是它研究的主要内容, 投影理论是它的基础. 法国几何学家加斯帕尔 - 蒙日 (Gaspard Monge) 对画法几何的发展有重要贡献. 1764 年, 蒙日用自制的测量工具画出家乡城镇的大比例平面图; 1765 年, 他用画法几何原理绘制了防御工程设计图, 但由于军事保密的缘故, 他的研究成果 30 年以后才得以公开. 1798 1799 年, 蒙日的《画法几何》出版, 它第一次系统阅述了在平面内绘制空问物体的一般方法. 由于画法几何在工程中有着广泛的应用, 因此画法几何又被称为 "工程师的语言".
蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图, 二视图由主视图和俯视图组成. 后来根据实际需要, 由二视图发展为今天在工程中广泛使用的三视图.
你能否举出这样的例子：两个物体的形状不同, 但是它们的二视图相同? 由这样的例子, 你能体会到为什么三视图比二视图有更广泛的应用吗?
全字塔(埃及)
意大利画家拉斐尔利用透视原理创作的名画《雅典学院》。画面上不同时代的希腊学者济济一堂, 数学家毕达哥拉斯和欧儿里得在其中。
加斯帕尔・蓫日
$(1746-1818)$
## 29.3 课题学习 $\quad$ 制作立体模型
观察三视图, 并综合考虑各视图表达的含义以及视图间的联系, 可以想象出三视图所表示的立体图形的形状, 这是由视图转化为立体图形的过程. 下面我们动手实践, 体会一下这个过程.
## 一、课题学习目的
通过由三视图制作立体模型的实践活动, 体验平面图形向立体图形转化的过程, 体会用三视图表示立体图形的作用, 进一步感受立体图形与平面图形之间的联系.
## 二、工具准备
刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯(或夢卜)等.
## 三、具体活动
1. 以硬纸板为主要材料, 分别做出下面的两组三视图(图 29.3-1)表示的立体模型.
(1)
(2)
图 29.3-1
2. 按照下面给出的两组三视图(图 29.3-2), 用马铃薯(或夢卜)做出相应的实物模型.
(1)
(2)
图 29.3-2
3. 下面每一组平面图形(图 29.3-3) 都由四个等边三角形组成.
(1)
(2)
(3)
图 29.3-3
(1)其中哪些可以折叠成三棱雉? 把上面的图形描在纸上, 剪下来, 叠一叠, 验证你的结论.
(2) 画出由上面图形能折叠成的三棱雉的三视图, 并指出三视图中是怎样体现 “长对正, 高平齐, 宽相等” 的.
(3) 如果上图中小三角形的边长为 1 , 那么对应的三棱雉的表面积是多少?
4. 下面的图形(图 29.3-4)由一个扇形和一个圆组成.
图 29. 3-4
(1)把上面的图形描在纸上, 剪下来, 围成一个圆雉.
(2) 画出由上面图形围成的圆雉的三视图.
(3) 如果上图中扇形的半径为 13 , 圆的半径为 5 , 那么对应的圆雉的体积是多少?
## 四、课题拓广
三视图、展开图都是与立体图形有关的平面图形. 了解有关生产实际, 结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用.
## 数学活动
活动1 观察物体，画出三视图
选择你熟悉的一些形状简单的物体, 从不同方向观察它们, 画出它们的三视图, 然后请同学根据画出的视图说出物体的形状, 看他们能否说对. 如果说得不对, 请你考虑改进你画的图, 或者与同学交流.
活动2 没计几何俥，制作椤畾
(1)每个同学设计一个几何体, 画出它的三视图.
(2)同学之间交换三视图图纸, 各自按照手中的三视图制作几何体模型.
(3)进行交流，看一看：作出的模型与设计者的想法一致吗?
(4)如果不一致, 请讨论, 寻找原因.
活动3 设计并制作笔筒
设计你所喜欢的笔筒, 画出它的三视图和展开图, 制作笔简模型. 体会设计制作过程中三视图、展开图、实物(即立体模型)之间的关系。
## 小结
## 一、本章知识结构图
## 二、回顾与思考
本章我们从生活实例出发, 学习了中心投影和平行投影; 研究了正投影的性质. 在此基础上, 进一步认识了三视图, 学习了简单几何体三视图的画法.
“由物画图” 和 “由图想物” 反映了“三视图”与 “立体图形(实物)” 之间相互联系和转化的关系, 投影原理是其实现转化的依据. 通过本章学习, 我们在认识中心投影、平行投影等知识的基础上, 学习了一些基本几何体的三视图，并通过实例，想象立体图形与三视图的互相转化, 增强了空间观念.
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧.
1. 什么是中心投影、平行投影? 什么是正投影?
2. 当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时, 它的正投影有什么性质?
3. 什么是三视图? 它是怎样得到的? 画三视图要注意什么?
4. 举例说明立体图形与其三视图、展开图之间的关系.
## 是习嗝 29
## 复习巩固
1. 找出图中三视图对应的物体.
(1)
(2)
(3)
(4)
(第 1 题)
2. 分别画出图中两个几何体的三视图.
(第 2 题)
3. 根据三视图, 描述这个物体的形状.
(第 3 题)
## 综合运用
4. 画出图中几何体 (上半部为正三棱柱, 下半部为圆柱) 的三视图.
(第 4 题)
5. 根据三视图, 描述这个物体的形状.
(第 5 题)
6. 根据展开图, 画出这个物体的三视图, 并求这个物体的体积和表面积.
(第 6 题)
7. 根据三视图,求几何体的表面积，并画出这个几何体的展开图.
(第 7 题 )
## 拓广探索
8. 根据下列三视图, 求它们表示的几何体的体积(图中标有尺寸).
(1)


## 第一单元 什么是美术
### 第 1 课 富于创造力的造型艺术
导学:
同学们, 经过小学阶段的学习, 我们大致了解了什么是美术。本课, 我们将了解美术作品的创作过程, 体会美术作品的立意与表现
美术作品的产生, 一是源于对现实生活的感受, 二是需要创造性的构思和独特的表现技巧。
江山如此多娇 (中国画) [现代] 傅抱石 关山月
1959年，画家傅抱石、关山月创作以《沁园春・雪》词意为主题的《江山如此多娇》巨幅中国画, 用来装饰人民大会堂, 向建国10周年献礼。在踏遍祖国大好河山, 收集素材, 反复探讨和构思的基础上, 历时三个多月，终于完美地创作出了这幅巨作。
绘画也跟作诗一样，首先要立意。“江山如此多娇” 应重点抓住一个 “娇” 字, 作品既要概括祖国山河的东西南北风貌, 又要体现春夏秋冬的四季变化; 不仅要表现 “长城内外”与 “大河上下”, 而且要描绘出 “山舞银蛇, 原驰蜡象” ; 既要有江南, 又要有雪山。只有在这 “多” 的气势中, 才能体现出 “娇” 来。
## 活动一
欣赏与讨论:
结合本课所欣赏的美术作品, 谈一谈自己怎么理解美术是一种 “富于创造力的造型艺术”。
### 第 2 课 美术是个大家族
导学:
美术门类众多, 内容涉及生活的方方面面。本课, 我们通过欣赏与分析, 了解不同类别艺术作品的特征和功能。
美术主要包括绘画、雕塑、设计 (含工艺美术) 和建筑艺术等四大门类。广义来说，书法、篆刻、摄影、摄像、动画、新媒体艺术和电脑美术也归人美术的范围之内。随着社会的发展和科学技术的进步, 美术的门类和品种还会增加, 以至出现一些跨领域的形式，呈现出更加丰富多彩的面貌。
绘画
是在平面上塑造空间视觉形象的美术学科。按照工具材料来分, 有中国画、油画、版画和素描等画种; 按照表现题材来分, 有人物画、山水画 (风景画) 和花鸟画 (静物画) 等画科; 按照功能、用途来分，有壁画、装饰画、年画、连环画、招贴画、漫画和插图等不同题材。
开国大典（油画）［现代］董希文
松谷 (版画) ［现代］ 晁楣
万山红遍（中国画）［现代］李可染
弓箭手（雕塑）[现代] 亨利・摩尔 ［英国］
《帝后礼佛图（龙门石窋）［北魏]
雕塑
是利用各种可雕可塑性物质材料创作具有真实空间体量的视觉艺术形象的美术学科。依照所用材料和工艺, 雕塑有石雕、玉雕、木雕、砖雕、铸铜、泥塑、玻璃钢塑等之分；依照表现形式, 有浮雕、圆雕和透雕等之分; 依照功能、性质, 有架上雕塑、建筑装饰雕塑、纪念性雕塑和环境雕塑等之分。
设计
是指运用艺术手段进行构思与计划的创造性活动，以满足人们物质与精神的需求。从本质上说，设计是技术与艺术的交叉与融合，尤其是现代科技和信息化社会所赋予设计的使命，使人的主体地位更加突出。设计的目的不仅仅是装饰和美化，而是把功效和使用者感受的软环境综合起来，改变了人仅仅是观赏者的地位，这与工艺美术有质的差别。
$\triangle$ 北京申办奥运海报现代陈绍华
方格纹彩陶双耳罐（马家窑文化）
从居室设计
超级运动摩托车
建筑
是满足人们各种生活需要由内部和外部空间形成的构筑体, 建筑也是实用功能与审美价值、 工程技术与艺术手段紧密结合的美术学科。现存的传统建筑有宫殿建筑、坛庙建筑、宗教建筑、园林建筑和民居建筑等; 现代建筑则分为纪念性建筑、公共建筑和民用建筑等。
中国国家体育场
北京天坛祈年殿
苏州拙政园
上海浦东新建筑群
北京故宫全景
美术与科技结合的表现形式
现代科学技术手段的出现, 如摄影、摄像、电脑图像处理和声、光、电等多媒体材料的综合运用, 使得许多美术创作的过程变得简便易行, 而且具有独特的艺术表现力。
动画片
电脑美术创意设计
摄影
工业设计
新媒体艺术
## 活动一
研究与讨论:
列举一些自己喜欢的美术门类及其代表性作品, 并说出喜欢的理由。
单元评价
选择：
一、美术作品产生的来源
1.美术家的创作( )
2.美术家的臆想( )
3.源于现实生活的感受( )
4.结合实际生活的表现( )
二、列举美术四大门类及其代表作品
| 美术门类 | 喜欢的作品 |
| :---: | :---: |
|   |   |
|   |   |
|   |   |
|   |   |
小提示
美术作品会给我们带来美的享受, 丰富我们的审美情感。同学们请记住：一定要丰富我们的感受, 走进自然, 走进生活，走进美术馆！
## 第二单元 多彩的学校生活
### 第 1 课 小伙伴
导学:
我们升入了新年级, 走进了新校园, 结识了新伙伴。本课我们将了解用不同的绘画方式表现人物, 通过以线造型或明暗造型的方法表现我们的伙伴。
通过观察我们会发现, 每个人的相貌都是独特的, 各有特点。画家的眼睛能敏锐地观察人物的相貌特征和表情变化，并生动地表现出来。
## 活动一
观察与分析:
通过实地观察, 用照相机拍摄周围同学的照片, 比较分析他们不同的脸型、表情和发式特征。
人物素描 [现代] 钱绍武
紧锁的双眉，坚毅的眼神，紧闭的双唇……画家生动地刻画出了女孩刚强的性格, 我们仿佛能感受到她内心深处强烈的情感交织。
青年男子的肖像 安格尔 [法国]
光线从斜侧方照过来, 亮部和暗部的过渡自然柔和。作者非常注重线条和调子的综合运用, 注重造型的归纳, 将铅笔擅长表现细拭色调的特性发挥得淋漓尽致。
维吾尔族姑娘阿丽亚 [现代] 肖惠祥
线条简洁而概括, 五官表现略有夸张, 画面洋溢着一种恬静的气氛，女画家的表现手法和形式有一种特有的含蓄的美感。
东方少女尼古拉・费钦 [美国]
也许是画家刻意强调, 画中人物五官特征突出, 从而使得作品个性鲜明。在用笔上, 画家用炭精条侧向勾线, 画在质地粗䊁的画纸上，手法奔放流畅。
## 活动二
欣赏与评述：
1.欣赏画家作品，分析画家是用哪种方法把握与表现人物的形象特征的。
2.了解以线造型、明暗造型的不同表现方法。
## 活动三
学习与探究:
1.了解人物头部的基本比例、 形体结构、透视等共性规律
2.学习头像写生的基本方法
知识点
“三庭五眼”：是前人绘画经验的总结, 是成年人五官平视时的基本比例关系的一般规律。现实生活中绝大多数人基本符合这一比例规律, 但由于五官形状的细微变化, 因而产生了人的相貌的差异性。
表情:
人有丰富的表情, 我们常以喜怒哀乐来概括。多种多样的表情是由面部表情肌的收缩运动产生的。
透视：
如果人的头部产生俯、仰或侧转运动, 那么画面中五官的比例、位置和形状也会相应地发生变化。
头部 “八格”：
我国民间画诀将头部的外形特征概括为“八格”，以“申、甲、由、田、用、国、目、风”八个字的外形比喻八种头部基本形。
头部的几种基本形
头部的基本形态
头部的透视示意
多视角素描头像习作
头像写生方法:
在我们观察人物形象时, 第一印象往往是最强烈也是最本质的，它包括人物的外形、五官和精神面貌。我们在作画时要牢牢抓住这一点, 对所画人物形象做到心中有数。具体作画时，用简练的线条起稿， 确定头像在画面中的基本位置, 注意头、颈、肩的衔接关系以及头发、脸部、颈部的比例位置, 进一步明确五官的比例和特征。深人刻画时, 重点突出人物的形象和表情特征, 线条要流畅有力。最后, 从画面整体效果出发，调整完成。
步骤及完成图 路昊
学生作业
## 活动四
体验与练习:
1.观察你熟悉的同学, 并概括出他的脸部和五官特征
2.用线造型的方法画一幅你同学的肖像, 要表现出他的相貌特征和性格。
拓展学习
用夸张的手法画一画自己感兴趣的人物, 要表现出其性格和气质。
### 第 2 课 在校园中健康成长
导学:
校园生活充满活力,到处都留下了我们的身影。我们通过了解人体的基本比例关系、人体的重心与动态, 学习运用速写的方式表现我们的校园生活。
人体的基本比例
脊柱是人体最关键的动态线, 它将头部、胸部、骨盆三大体块联系起来。
## 活动一
观察与分析:
通过图片、影像和相互观察, 尝试用测量等方法, 分析人物直立、坐姿、盘坐等状态下的比例关系。
知识点
“站七坐五盘三半” 是前人绘画经验的总结, 是以一个头长为单位, 衡量出的一般成年人身体的基本比例关系。
知识点
重心线——人体重心是由人的头、躯于和四肢重力的合力共同作用而形成的点, 由此点垂直向下指向地面的线称为重心线。
动态线——体的运动产生动态, 就描绘着衣人物的动态而言, 最明显的动态线就是衣裤与身体贴得较紧的部位。
## 活动二
体验与练习:
试试画出照片中人物的重心线、动态线
盖叫天饰《恶虎村》的黄天霸 [现代] 叶浅予
京剧表演艺术家盖叫天，人称“活武松”，在画家的笔下复活并再造了人物的神态。挺健有力的线条变化有致，富有节奏。
摔跤 [现代] 翁如兰
抓住转瞬即逝的动态速写是很难的, 它需要敏锐的观察力和过硬的表现功力。这幅摔跤的速写, 抓住了摔跤手僵持状态下的几个动作特征, 线条有力并富于动感。
全身速写方法:
整体观察人物的动作, 通过找出头部、胸部、骨盆三大体块的方向, 确立人物的基本动作关系。画轮廓时, 用虚线条画出人物的基本形态和比例关系。然后, 仔细观察四肢的位置, 明确人物的动作特征。 同时, 确定头部与全身的比例关系, 强化姿态的外形特征。以线造型时, 注意线条的疏密关系, 五官刻画不宜过于细致，衣祤的表现要线条流畅， 符合人体结构。最后, 从画面整体效果出发, 刻画细节, 调整画面, 完成作品。
步骤及完成图 路昊
## 活动三
欣赏与体验:
1.通过赏析画家的速写作品, 了解速写的表现方法, 体会线的运用和表现力。
2.运用前面所学的知识, 用速写的方法表现身边的伙伴。
陕北姑娘李蟠爱 刘文西
小姑娘端坐在地上,双手撑地。画家成功地抓住了她扭头的瞬间动作, 对头部和身体的微妙关系把握准确, 显示了画家对人体结构和运动规律的深刻理解。
拉萨八角街 陈丹青
画面以小街房屋为背景，烘托人物，记录了藏族同胞在集市上活动的场面。画中众多的人物被分成几组, 疏密得当, 画面丰富而毫无杂乱之感。
人民大会堂 邵宇
这幅速写以大会堂内部场景为表现对象，用远镜头的方式记录了会议场面。天顶的灯饰用简练的线条表现, 与下面概括处理的人群形成了疏密对比, 点面呼应，画面的整体感很强。
根据场景完成的速写 路昊
学生作业
## 活动四
探讨与表现:
1.观察、收集校园活动的图像资料，分析人物与场景、人物之间的活动关系
2.通过欣赏画家作品, 了解如何处理画面中人物与场景的主次与疏密关系
3.选取学校生活的一个活动场面, 用速写的方法来表现
学习提示
在多人物的场景速写中，应注意人物的安排要主次分明、疏密结合，主要人物安排在画面的突出位置。
### 第 3 课 我们的风采
导学:
多彩校园, 无处不张扬着蓬勃活力, 闪耀着我们的风采。本课将通过学生装设计的学习, 了解服装设计的基本知识和方法, 尝试设计属于自己的服装, 进而提高我们对服装艺术的认识和修养。
学生装就是指学生穿着的服饰。学生装兼具实用性与美观性, 与学生年龄、气质相吻合, 以展现新时代学子充满朝气、活泼明朗、积极向上的精神风貌。
清爽的蓝白配色充满活力。
浅色给人凉爽的感觉。
深色的衣服在心理上会给人温暖的感觉,白色滚边和红色领带起到点缀作用, 稳重中不失活泼朝气。
运动式学生装以T恤衫、针织运动套装为主。
校内正式场合着装。白色的明快纯净与藏蓝的内敛沉稳互补, 是当代中学生气质的良好诠释。
日常休闲装。亮丽的色彩、舒适的面料让学生的活泼朝气充分体现。
成功的校服设计让课堂充满生命的活力，让校园焕发生机，让环境放射人文的光芒。
制服类学生装一般为西服、衬衫、百褶裙，可提升整体形象。
## 活动一
观察与分析:
通过图片、影像和互相观察, 说说学生装应具备什么特点, 自己学校的学生装应该体现什么特色?
知识点
服装设计的基本原则：
服装设计要兼具审美性和实用性。
服装设计的三要素：
款式、颜色、面料是服装设计的三要素。
以学生装为例。
款式——学生装主要分为两类: 制服式学生装和运动式学生装。
颜色——学生装应以柔和、 沉稳的颜色为主色, 搭配小面积跳跃的颜色, 达到既稳重又明快的效果。
面料——学生装的面料应具备舒适、吸湿透气、耐脏、耐磨等特，点和功能。
相关链接
学会服装搭配, 提升形象指数。
1.服装修饰体型。针对不同体型, 选择合适的服装, 从而扬长避短, 达到修饰体型的效果
2.服装应和配饰巧妙搭配别致的配饰搭配可形成视觉中心，起到画龙点睛的作用。
3.服装色彩应根据季节的变化加以调整。
4.服装应与特定的环境相匹配，不同场合应穿着不同服装。
服装设计步骤
服装设计效果图是以简洁、明快而新颖的艺术语言表达的, 无论采取何种表现形式和手段, 均应以渲染、烘托服装的结构特征和艺术气氛为最终目的。在服装设计效果图中, 对服装的表现往往是借助人体美来实现, 形体美与服装美是相互依存的统一体。
服装设计效果图主要有淡彩表现法、水粉表现法、彩色铅笔表现法、麦克笔表现法、材料拼贴等表现方法。
## 活动二
体验与评价:
1.尝试画一幅学生装设计图, 或利用可找到的材料拼贴、搭配出一套学生装。
2.谈谈自己设计学生装的心得, 师生对作业进行互评和总结
淡彩画法, 透明流畅、水色交融。
材料拼贴，材料丰富直观、装饰性强。
水粉画法, 细悈写实、装饰性强。
学生作业
单元评价
请在自己作业达到的选项处打√。
一、小伙伴头像
1.“三庭五眼” 比例准确( )
2.表现出了同学的五官特点( )
3.能抓住同学的表情( )
4.画出了小伙伴的性格、气质( )
二、全身像速写和场景速写
1.人物整体比例较准确( )
2.动态表现较生动( )
2.场景中分出主次关系( )
4.画面整体效果好( )
三、学生装
1.符合年龄、身份( )
2.款式新颖( )
3.色彩搭配合理( )
4.面料舒适( )
小提示
校园生活中，最难忘的是同伴关系，我身边的小伙伴是我成长中的精神伴侣。让同学间的友谊成为我们最珍贵的一份情谊!
## 第三单元 传递我们的心声
### 第 1 课 有创意的字
导学:
生活中的信息传达离不开文字, 怎样使文字在视觉传达中更达意、更引人注目, 是我们这一课学习的主要内容。本课学习的字体设计就是了解文字结构、字形之间的有机联系, 根据文字的使用场所、针对对象和字体本身的词义强化来加以修饰、 变形，使文字造型实用并体现个性化。
字体设计在生活中无处不在
招贴设计 赵健
包装设计 陈建军
标志设计
## 活动一
探索与发现：
收集生活中有创意的字，思考它的创意所在，并与大家一起分享。
字体设计主要从字形、结构、字义等方面考虑变化。主要有形象化、意象化、装饰化等表现形式。
## 活动二
分析与归纳：
分析右面提供的三种形式的字体，总结归纳它们的创意特点。
字形变化（寿）
结构变化（敢）
字义变化（缺）
形象化字体设计（象）
意象化字体设计 (井底之蛙)
装饰化字体设计 (J)
单独字体构思示例
英文字母 “A” 的设计变化
学习提示
字体设计要易读耐看, 追求视觉美感。
符合使用目的, 增强观赏效果和内涵。
富有时代感, 获得最佳视觉传达效果。
有鲜明的个性。
组合文字不同于单个文字, 在设计之前, 首先要明确组合文字本身所包含的意思, 然后考虑采用具有特征性的形态来表现文字的意义。寻找与组合文字意义相吻合的表现形式是字体设计的关键。
连字编排形式
重叠编排形式
造型编排形式
形象化编排形式
弧线编排形式
意象化编排形式
曲线编排形式
## 活动三
探究与表现:
1.探究组合文字的创意表现方法。
2.任选一个词或成语，结合词义进行创意表现。
小辞典
字体：同一种文字的各种不同形体。从图形角度看字体就是笔形及其组合。
宋体：源于宋朝雕版字。横平坚直, 横细坚粗, 敞如刀, 点如瓜子, 捺如扫, 结构饱满, 整齐美观, 起笔及转折处有装饰角。
黑体: 字形方正, 基本笔画的起笔和收笔都是方形的, 简单、 统一，黑白对比强烈、醒目。
拓展学习
中国古代人们为了交流和表达思想感情, 依据大自然的物象设计了许多有代表性的形态符号，称为 “象形文字”。
中国汉字经过几千年的锤炼, 派生出了各种各样的书体和风格。出现了“篆、隶、楷、行、草”等书体。
通过“永”字图例, 观察比较黑体与宋体的特点
常用印刷字体
甲骨文
古埃及象形文字
楔形文字
### 第 2 课 精美的报刊
导学：
我们每天在读书或阅读报刊、杂志的过程中, 常会为其中的一些精美的设计而心动。为什么会有这种心动的感觉呢?
本课将为大家揭开这个秘密，那就是“版式设计”的视觉之美。
报纸
杂志 刘晓翔
网页
## 活动一
欣赏与了解:
欣赏书籍、报刊、网络中优秀的版式设计作品, 学习了解版式设计的基本原则、规律
版式指的是在一个版面空间里, 遵循 “美” 的形式法则, 将与主题相关的视觉元素进行有机的排列组合, 使其产生感官上的美感。版式设计的范围涉及报纸、刊物、书籍、 画册、挂历、招贴、网页设计、唱片封套等各个领域。
招贴
宣传展板
书籍设计
书籍版式
知识点
版式设计离不开网格, 网格由垂直线与水平线相交构成网格单元, 它并不显现在设计作品表面, 而是隐性的心目中的线。网格为设计提供了一个基本框架,使各单元元素之间形成清楚、连贯的关系,使设计作品具有内在凝聚力和秩序感。网格越多,你的设计就越具有灵活性。
对称与均衡
变异与秩序
空白与疏密
比例与分割
对比与调和
节奏与韵律
版式设计基本法则:
对称与均衡
变异与秩序
空白与疏密
比例与分割
对比与调和
节奏与韵律
壁报设计示意图
版面设计基本流程
将所要表达的信息进行归类，分清所要表达信息的主次关系。
设计好版式网格, 进行分栏, 对画面的视觉信息进行有效组合, 产生感官上的美感。
按照版式设计基本法则进行设计。
调整完善。
## 活动二
体验与实践:
用所学的版式设计知识,分组自拟主题,尝试用拼贴、手绘或电脑等方式设计一份壁报。
版式设计草稿
单元评价
选择:
一、字体结构设计的基本原则主要有哪些
1.字形匀称, 大小统一$(\quad)$
2.上松下紧, 上小下大 $(\quad)$
3.有争有让, 适当穿揷$(\quad)$
4.笔画统一, 主次分明 $(\quad)$
二、字体设计的主要方法有哪些
1.形象化$(\quad)$
2.意象化$(\quad)$
3.统一化$(\quad)$
4.装饰化$(\quad)$
三、版式设计的基本法则有哪些
1.对比与调和$(\quad)$
2.节奏与韵律$(\quad)$
3.比例与分割$(\quad)$
2.空白与疏密$(\quad)$
5.变异与秩序$(\quad)$
6.稀疏与紧凑$(\quad)$
小提示
在现代生活中，字体设计的内涵丰富，应用广泛。发掘汉字中蕴含的文化积淀，将汉字和艺术所体现出的“创意”和“创形”思维融入到设计语言中，可以形象直观地传递我们的心声。
## 第四单元美丽的校园
### 第 1 课 描绘我们的校园
导学:
如果我们用审美的眼光去观察, 就会发现校园中的很多景物都是一幅幅美丽的图画。本课通过了解取景、构图、透视的知识, 学习线描写生的方法, 表现校园一景。
## 活动一
观察与探讨：
结合校园实景,分析探讨如何进行风景写生的取景、构图。
学习提示
取景时, 视平线在画面上的位置是关键。视平线高低不同, 所取的景物构图也就不同。
取景时主体景物放在画面的黄金分割点上, 这样的画面才更符合视觉美感。实际操作时可将画面纵横分成三等份,主体景物放在任一分割线交会点上即可。
视平线的高、低变化与取景构图
村道 霍贝玛 [荷兰]
这幅成功地表现了平行透视的风景画,给观者以舒畅的美感。严格的透视消失点,把观众的心情带向远方, 极目远望使人心旷神怡。对称的构图使画面显得很平稳,可是那细微的、有节奏的、多样又统一的各种细节,却像钢琴跳跃的音符, 使观者丝毫也不感觉画面呆板单调。
## 活动二
学习与研究:
1.风景画是怎样表现景物空间的?
2.平行透视和成角透视各有什么规律? 在写生画中有什么作用?
小辞典
视平线——指眼睛向水平方向望去所看到的水平线, 它随视点变化而变化。
平行透视——也称焦点透视立方体有一个面与画面平行, 它和画面所构成的透视关系叫作平行透视，它只有一个消失点。
成角透视——也称二点透视画面上立方体的四个面相对于画面倾斜成一定角度时, 往纵深平行的直线产生两个消失点。
平行透视
成角透视
自然景色错综复杂,不能把一切都画到画面中。有时必须通过取舍、概括才能突出主体景物。描绘时一般将景物归纳为近景、中景、远景三个层次。近景、中景一般是主体景物, 要着意刻画; 远景一般是背景, 起衬托作用, 为次要景物，刻画时应当概括、简练。
线描写生方法:
首先选择自己要表现的主体景物, 然后明确近景、中景、远景的基本关系。为了突出主体景物，对于那些影响景物特征的细节应孕以取舍，要整体把握画面的疏密层次。
近景、中景、远景示意图
实景图
步骤及完成图 陈琰
实景图与同学的速写作业
这名同学并没有完全照搬实景，而是发挥主观能动性,对画面中的景物进行了适当取舍, 从而使得作品构图完整，刻画细致，层次分明。
## 活动三
体验与练习:
根据所学内容,选择校园一景，画一张线描写生画。
学生作业
### 第 2 课 设计我们的校园
导学:
校园是我们每天学习和生活的地方,现实的校园和你理想中的校园有哪些差异呢?本课我们将借助美术的力量,用自已的智慧和双手使我们的校园更美好。
雕塑艺术对校园空间文化的塑造起着重要作用, 它通过美的形式潜移默化地影响着我们的情感、态度与价值观。校园雕塑设计不仅要考虑雕塑与环境相协调, 而且要考虑雕塑与校园文化的一致性。
## 活动一
收集与讨论:
收集、欣赏优秀的雕塑作品,讨论什么样的雕塑作品更适合我们的校园。
纸造型可以借助以下方法制作。
1.切割与接合——可以借助直线切割、曲线切割、挖切等方法进行揷接,可以利用纸条编接,也可以利用各种䵑合剂粘接。
2.折叠与弯曲——弯曲的方式不再赘述。折叠的方法包括直线折叠、折线折叠、曲线折叠。折叠前最好用刀背刻画折叠线, 以便折叠。
## 活动二
体验与练习:
运用切割与接合、折叠与弯曲等方法,采用纸板、吹塑板等材料,制作一件立体造型作品,体验设计与制作的基本方法。
知识点
自然万物丰富多彩, 再复杂的形象都可以简化归纳成球体、圆柱体、圆雉体、立方体等基本几何体。立体构成就是使用各类不同的材料, 以这些简单形状进行各种构成组合。
切割与接合
折叠与弯曲
学习提示
运用立体构成的方法进行创作, 首先需要改变在平面画纸上创作时以轮廓形状进行表现的习惯, 要养成全方位的以体积、量感和深度的概念去观察、把握、 表现的习惯，形成立体空间思维。
$\triangle$ 完成
纸制建筑模型制作
校园沙盘模型制作:
1.在校园平面设计草图的基础上, 确定合适的制作比例，分配选择制作的内容;
2.按小组分别制作;
3.初步组合, 从模型整体的空间、造型和色彩关系上进行修改;
4.添加环境装饰，完成制作。
## 活动三
考察、实践与展示:
1.从美观和使用功能的角度, 对校园进行实地考察与分析以班级或小组为单位, 画出校园规划草图。
2.根据校园规划草图, 运用本课所做的立体造型作品, 组合完成校园模型
3.布置展示, 邀请全校师生和家长参观、评述。
学习提示
创作 “理想中的校园”, 应该在考虑使用功能、符合学习生活空间特点的基础上, 按我们的创意对校园空间进行重新组合、 排列。
校园规划草图
校园整体模型制作
单元评价
选择:
一、你认为自己的作业符合的选项有
1.平行透视( )
2.抓住风景特点( )
3.成角透视( )
4.符合透视规律( )
二、你理想的校园还需要哪些设计
1.校园雕塑（ ）
2.校园标志（ ）
3.校园艺术角（ ）
4.校园壁画（ ）
小提示
在教育我们成长的校园环境中, 有许多美丽和让我们印象深刻的景观, 让我们在校园中发现美、感受美、创造美, 热爱我们学习、生活的地方。
## 第五单元 实用又美观的日用产品
导学：
我们使用的日用产品, 处处都有美术设计的影子。本课通过对日用产品的欣赏, 学会从实用和审美的角度去鉴赏日用产品设计的价值。
日用产品不仅给人们生活带来方便，也使人们在使用时感到舒适和愉快，很自然地给人以美的感受, 这就是设计者的目标和任务。我们应该学会在生活中观察和分析接触到的工业产品，认识设计的成功和不足之处, 提高我们的审美能力，培养设计素质。
果盘不只是盛放水果的容器, 在拿开水果之后又能成为桌案上的装饰品, 给人以美的享受。
办公文具的设计吸收了中国传统漆工艺的色彩特点，以黑为主, 黑红结合, 形成沉着强烈的色彩效果; 造型以直线为主, 结合半圆形的几何线, 构成单纯简洁的形体, 让人领略到现代设计的美感。
显示器造型简洁、独特, 音箱设计采取拟人化的设计手法, 酷似有生命的两只眼睛, 给人亲近感。制造工艺细媙，是科技与工艺的完美结合。
这款手机设计, 在造型和色彩处理方面注重实用与美观的结合, 时尚、美观、耐用。
吸尘器是随着吸尘操作运动的, 设计者借鉴了汽车或甲虫的形态, 创造了这样一种有意味的形式, 既美观又符合使用要求, 色彩效果也很有特点。
从上面一组家庭用汽车造型设计图中可以看出, 设计者在考虑小型、 方便、降低造价的同时, 还追求造型的形式美, 符合流体力学原理, 形成了各自的风格特点。
## 活动一
观赏与描述:
1.你是否能谈谈这些日用产品的功能与审美价值?
2.你对作品中所体现出的造型特点与色彩处理有什么感受? 这些造型特点与色彩处理对其功能产生什么效果?
中国有句俗语叫作“物以致用”, 即物品的存在都是有它特定的用途的。产品的设计首先需要考虑它的用途 (功能), 同时, 也要考虑人对物质产品还有精神方面的审美要求。优秀的现代工业产品设计都体现了实用与美观的有机结合。这是欣赏和评价现代各种生活中工业产品设计质量高低的重要标尺。
漆器制造在中国有着悠久的历史。这件红漆花形洗子, 在自然的花朵形状的基础上加以规整化, 是一件实用和美观结合得非常好的作品。
这套咖啡具的造型形式独特而美观, 其特点的形成是从实用出发的, 向下反向的把手是为了端拿方便、省力, 无钮的圆盖是为了不因盖钮的碰掉而成为废品, 黑红相间的装饰是为了与色调偏灰黄的瓷质协调, 以形成明快的效果。工业产品设计不能单纯从美观的角度出发, 要从功能、材料、形式等方面进行整体考虑。
这一组椅子，造型简洁大方，充分发挥了不锈钢的材质美, 闲置时可以摞在一起, 既形成一种新的造型，又节省了放置椅子的空间。
灯具的样式应主要从实用考虑, 但同时也要形式美观, 使之成为书案的一个组成部分, 具有耐人寻味的造型结构形式。
休闲椅设计简洁，曲线运用流畅，符合人体工程学的比例关系，既美观又实用。
## 活动二
分析与研究:
寻找一件你身边熟悉的工业产品设计，尝试从功能、材料、 形式、美感四个方面加以分析。
单元评价
选择
日用产品设计主要考虑哪几方面
实用功能 $(\quad)$
审美功能 $(\quad)$
实用与美观的结合 $(\quad)$
小提示
美术存在于人类生活的衣、 食、住、行各个方面, 让我们自己做生活中的设计师、艺术家, 创造美好生活, 提高生活品质。


# 第一单元 华夏古韵
阳关三叠
中速充满感情地
王维诗
古曲
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒
遄行, 遄行, 长途越渡关津。
(原调为A调）
送元二使安西
戴敦邦
作品介绍
《阳关三叠》是以唐代诗人王维的诗《送元二使安西》为唱词的一首著名的古代琴歌。 诗意清新、旋律质朴、感情真真挚，表达了诗人对友人依依不舍的送别之情。
拓展练习
这首歌曲被改编成多种艺术表现形式，请对比欣赏合唱、古琴、琴歌等不同形式的音响片段, 并谈一谈自已的感受。
原始狩猎图
骨笛与乐队
钱兆喜曲
主题
紧张地
朱蒙狩猎图
乐器陈列室
骨笛 骨笛是笛子的一种，用大型飞禽的骨头制成。20世纪80年代在河南舞阳出土的距今约八千年的骨笛是中国迄今为止发现的最古老的实物乐器。
京郢
埙独奏
龚国富曲
主题
慢速哀痛地
楚商
编钟曲
王原片曲
深沉地
作品介绍
《楚商》是根据先秦时期楚国的音调特点改编整理的一首编钟乐曲。它体现了我国古代 “以和为美” 的审美格调，给人以 “大乐与天地同和” 的感觉
乐器陈列室
编钟是大小不同的钟悬挂在支架上组合而成, 是有固定音高的打击乐器, 常用于各种仪式、庆典活动。
流水
古琴曲
宽闽稳重地天闻阁琴谱
管平湖演奏谱
宽阔稳重地
杏花天影
[宋]姜蕊词曲
杨萌汶译
缓槾抒情地
绿丝低拂鸳鸯浦,想桃叶、
当时唤渡。 又将愁眼与春
风，待去。倚兰桡、更少驻．...
作品介绍
这是一首典型的宋代歌曲, 音乐由换头合尾的两个段落组成, 旋律舒缓典雅，情绪惆怅。
广陵散
三国时期, 魏国名士秫康热爱靭琴，远近闻名。
一日，嵇康在华阳亭听到一位老者演奏《广陵散》。老者向嵇康讲述 《陵散》的故事：战国末年, 韩国的韩哀侯昏庸无道, 侠客聂政为报父仇, 在朝廷剌杀了韩哀侯后，自杀身亡
嵇康深受感动, 向老者学习彈奏这首乐曲。
后嵇康因拒绝为魏国大将钟会弹琴, 而被强加罪名, 判处死刑。临刑前, 在怀着悲愤的心情最后一次弹奏 《广陵散》 后,嵇康仰天长叹: “我死不足惜, 只可惜《广陵散》从此失传矣! "
# 第二单元 梨园风采
同光十三绝 〔清〕沈蓉圃
京剧行当
生行
旦行
净行
丑行
四大名旦
左起程砚秋、尚小云、梅兰芳、荀慧生
前四大须生
余叔岩
言菊朋
高庆奎
马连良
后四大须生
马连良
奚啸伯
谭富美
杨宝森
海岛冰轮初转腾
一一选自传统京剧 《贵妃醉酒》
梅兰芳演唱
海岛冰轮初转腾,
见玉兔又早东升。
那冰轮离海岛，
乾坤分外明，
皓月当空，
恰便似嫦娥离月宫，
奴似嫦娥离月宫
作品介绍
《贵妃醉酒》又名《百花亭》, 主要描写杨玉环醉酒抒怀的故事, 是梅派代表剧目之一
我正在城楼观山景
一一选自传统京剧《空城计》
【西皮二六】
马连良演唱
作品介绍
《空城计》是京剧传统剧目主要剧情是：诸葛亮驻西城, 闻听司马恣乘胜攻取西城, 万分危急中，以空城计惊退司马马軟。
练一练
跟录音哼唱，感受唱段的韵味。
音乐家相册
马连良 $(1901-1966)$
京剧大师, 形成自己的艺术风格，世称“马派”。代表剧目有《空城计》等。
儿行千里母担忧
一选自传统京剧三家店
西皮流水
因此上发
配
登州。
实难
舍
街坊四邻与我的好朋友,
作品介绍
《儿行千里母担忧》选自京剧传统剧目《三家店》, 是秦琼在被押解路上所唱, 既表现了他对亲朋好友的依依不舍, 也表达了他对母亲的深深劵念, 唱出了英雄心中的咕苦与无奈。
这个唱段采用西皮流水板式，是 $\frac{1}{4}$ 节拍的形式，有板无眼，中快速度。
学练提示
边击拍边学晿, 注意休止符的作用。
## 音乐卡片
住头是锣鼓点的一种, 通常用于：(1)唱段的终止；（2念白的段落或加强语气; (3)配合台上的小动作。
游园惊梦
一一选自昆曲《牡丹亭》
原来姹紫嫣红开遍， 似这般都付与断井颓垣。 良辰美景奈何天， 赏心乐事谁家院?
朝飞暮卷,
云霞翠轩。
雨丝风片,
烟波画船。
锦屏人式看的这韶光贱!
作品介绍
《牡丹亭》原名《还魂记》, 是明代剧作家汤显祖的代表作
聆听与思考
昆由又称 “水磨调”，对比 《海岛冰轮初转腾》谈谈你对昆曲与京剧的不同感受。
## 音乐卡片
昆曲原名 “昆腔”，是我国传统戏曲中最古老的剧种之一， 距今已有六百多年的历史 2001 年，昆曲艺术入选联合国教科文组织首批 “人类口头和非物质出产代表作”名录。
欣赏
## 智 斗
———选自现代京剧《沙家浜》
胡传魁唱 想当初老子的队伍才开张，
拢共才有十几个人，七八条枪。
遇皇军追得我晕头转向,
多亏了阿庆嫂，她叫我水缸里面把身藏。
她那里提壶续水, 面不改色, 无事一样,
骗走了东洋兵，我才躲过大难一场。
似这样救命之恩终身不忘,
俺胡某讲义气终当报偿。
フ德一晿 这个女人不寻常!
阿庆嫂唱 习德一有什么鬼心肠？
作品介绍
现代京剧《沙家浜》讲述了抚日战争时期, 澵四军在沙家浜群众的帮助下, 全殀敌伪的故事。《智斗》是《沙家浜》第四场阿矢嫂与日伪参谋长习徳一的一段斗智斗勇的唱段, 生动形象地表现了阿庆嫂的机智和勇敢。
聆听与思考
本唱段人物角色的行当：
阿庆嫂
习德一
胡传魁
打虎上山
一一选自现代京剧《智取威虎山》
二黄导板
紧拉慢唱
作品介绍
《打虎上山》选自现代京刮 《智取威虎山》 第五场，是杨子檬奉命忝装打入座山雕大本营戌虎山途中抒发亭情壮志的一段唱腔。
聆听与思考
(10传统京剧相比, 这个唱段的伴奏有何不同?
(1) 这个唱段的前奏描绘了怎样的场亰?
练一练
你喜欢这个唱段中的哪一句? 请模仿一下。 传统京剧的伴奏分为文场和武场。
文场
京胡
板鼓
京二胡
大锣
小三弦
小钘
月琴
武场
学打锣鼓经
四充头
注桻：
葊、大右手单槰一击
## 音乐卡片
四击头四击头是锣壾经的一种节奏型的名称, 一般在京剧表演中用于伴衬亮相。
练一练
边打锣鼓经边亮相。
住头
(大锣住头)
聆听与思考
聆听四个片段，辩别京剧的文武场。
片段一:
片段二:
片段三:
片段四：
(1) 聆听六个唱段, 辩别角色的行当。
唱段一：《包龙图打坐在开封府》(选自《钊美案》)
唱段二：《猛听得金鼓响》(选自《穆桂英挂帅》)
唱段三：《这一封书信来得巧》(选自《定军山》)
唱段四：《趍夜晩出奇兵》(选自《奇袭白虎团》)
唱段五：《猛志在胸催解監》(选自《文成公主》)
唱段六: 《军民鱼水情》(选自《沙家浜》)
## 第三单元 西乐撷英(一)
欧洲音乐的发源地是古代希腊和罗马。自十七世纪文艺复兴后期始, 欧洲先后出现了 “巴罗克音乐” “古典乐派” “浪漫乐派” 等有承递关系的不同音乐风格流派。
唱歌
英雄凯旋歌一一选自清晿剧《犹大·麦卡白》
[德] 摩列尔 词
亨德尔 曲
中速  神气地
尚家骧译配
胜利的歌声到处传扬。
作品介绍
《英雄凯旋歌》选自亭德尔的清唱剧《犹大.麦卡白》, 表现了英雄得胜归来时雄壮威武、万众颁扬、酧杨热浦的场面。
练一练
请同学们唱一唱, 注意声部的均衡与声音的和谐。
中速
## 音乐卡片
清唱剧是一种介于歌剧和大合唱之间的多乐章大型声乐套曲，包括独唱、重唱及合唱，由管弦乐队伴奏。
G弦上的咏叹调
小提琴独奏
主旋律
作品介绍
《G弦上的咏叹调》是创作于 $1729-1731$ 年的管弦乐作品。后经小提琴家威廉米改编成小提琴独奏由，主旋律完全在小提琴 $\mathrm{G}$ 弦上湏奏, 因而得名。
聆听与思考
小夜曲
弦乐四重奏
中速 优美地
作品介绍
海顿的《小夜曲》作于1762年。此曲原为《F大调弦东烟重奏》第二乐章, 作品色彩明朗、典雅质朴, 表现了无忧无虑的意境。
## 音乐卡片
弦乐四重奏是由四把弦乐器组合而成的室内乐形式, 它包含两把小提琴、一把中提琴和一把大提琴。
弦乐四重奏
奥地利作曲家, 维也纳古典东派代表人物之一，被誉为“交响乐之父”。他的音乐作品体裁广泛， 涉及声乐、器乐各个领域。代表作有《皇帝四重奏》、12部《伦敦交垧曲》以及大型清唱剧《创世纪》 《四季》等。
C小调第五（命运）交响曲第一乐章
主题
[德]贝多芬曲
紧张、不安地
副部主题
优美、抒情地
作品介绍
《c小调第五（命运）交响由》作于 1805 年, 是一部哲理性很强、 能代表贝多芬艺术风格的作品, 窞有强烈的艺术感染力。
## 音乐卡片
交响曲是器乐体裁的一种，是管弦乐队演奏的包含多个乐章的大型套曲。
音乐家故事
贝多芬与《月光奏鸣曲》
第一平章
快板
[奥]莫扎特 曲
作品介绍
《g小调第四十交响曲》作于 1788 年，是一首广泛流行的交响乐作品。全 㘡共四个乐章第一乐章以奏鸣曲式写成, g小调, 快板, 音乐洋溢着欢悦和乐观精神。
小步舞曲
小快板
[德〕巴赫曲
仔细观看以下图片, 说出图片中的演奏形式。
活动探究
唱一唱下面两首音乐作品的旋律片段。
作品一
主题A [血]海曼曲
主题B
生绍C
作品二
施人诚词
左安安曲
这两首音乐作品中有你䇄悉的音调吗? 请你找艸作品中运用了哪此古典音乐作品的因调。
## 第四单元 神州音韵(四)
唱歌
在那遥远的地方
中速抒情地
1. 在那
2. 她那
3. 我愿
4. 我原
遥远的地方, 有位好姑恨, 人们走过了她的帐房, 粉红的小脸, 好像红太阳, 她那活泼动人的眼睛, 扯弃了财产, 跟她去放羊, 每天看着那粉红的小脸, 做一只小羊, 跟在她身旁, 我愿她拿着细细的皮鞕, 1.2.3.4.
都要回头留恋地张望。
好像晩上明媚的月亮。
和那美丽金边的衣裳。
不断轻轻地打在我身上。 我愿她拿着细细的皮鞭
不断轻轻地打在我身上。
作品介绍：
《在那遥远的地方》是王洛宾根据我国青海地区民歌改编而成。声调委婉抒情, 表达了真挚的爱情。
王洛宾 $（1913$-1996）
著名音东家, 代表作品有《在那遥远的地方》
大漠之夜
引子
邵永强 词
尚德义 曲
嗯
主题
行板
(界声)月色朦肱, 星光肉烁, 一骆驼
行进在无边的沙漠。
聆听与思考
你联想到了怎样的画面? 说一说这些画面是通过什么音乐表现手段来描绘的（速度、音色、力度等）。
欣赏
玛依拉
热情、活泼地
哈萨克族民歌
1. 人们都叫我玛依拉, 诗人玛依柆,
2.我是瓦利姑娘, 名叫玛依柆,
3.白手巾四边上, 绣满了玫瑰花,
## 音乐卡片
哈萨克族民歌姶萨克族人民䣲爱唱歌，谙语中有“歌和马是哈萨克人的两只翅膀” 之说哈萨克族民歌具有典型的游牧民族奔放热情的音乐风格, 包括牧歌、顾歌、情歌、 婚礼歌等音乐体裁
阳光照耀着塔什库尔千
小提琴独奉
主题一
小快板
主题二
热情地
作品介绍
这首乐菖在新瞖塔吉克族典型民间音调的基础上创编而成, 旋律优美动听, 节奏富于变化, 表现了塔吉克族人民载歌载舞的欢滕场面。
聆听与思考
请你比较一下上面两段主题在音调、节拍、速度、音色、情绪等方面的不同。
牧歌
宽广抒情地
蒙古族民歌
学练提示
- 结合歌曲的旋律、节奏特点, 用缓吸缓呼的哹吸方式演唱歌曲。
拓展练习
㰠赏䧸希贤改编的无伴奏合唱曲《牧歌》。 试述合唱曲《牧歌》与独唱曲《牧歌》有哪些不同的特点。
## 音乐卡片
蒙古族民歌豪古族民歌大体可以分为长调和嘺调两种类型。长调民歌节奏自由、舒缓, 旋律悠长, 有独特的装饰音。短调民歌节拍律动㽚明、结 㥎句法清盺。2005年, 苜古族长调民歌入选联合国教科文组织第三批 “人类口头和非物质逼产代表作”名录。
万马奔腾
马头琴独奏
聆听与思考
这首乐曲是怎样表现万马奔腾的壮观场面的?
白夏克木下姆（选段）
歌词大意：
当仙子需要时可以把你的生命索要,
哦, 我的伤痛只有那医生才知道
㸚呀呀, 朋友, 为你而痛苦是多么揪心。
关在金丝笼中的是花芭么?
百灵鸟能要那棘刺编筑的窝巢么?
呚呀呀, 朋友, 为你而痛苦是多么揪心。
混混沌沌的人怎知知识的价值,
河水怎会知晓珍珠藏在蚌壳里。
## 音乐卡片
木卡姆是新疆维吾尔族一种内容丰富、体裁多样、风格独特的大型古典乐器, 有十二种之多, 所以又称为十二木卡姆，夏克木卡姆是其中的第八套
艺术入选联合国教科文组织第三批 “人类口头和非物质遣产代表作”名录
半个月亮爬上来
无伴奏合怛
1. 半个月亮彶上来, 依啦啦爬上来,
2. 半个月亮爬上来, 依啦啦廷来,
照着我的㚲娘梳妆台，依啦啦梳妆台。
为什么我的姑娘不出来, 依啦啦不出来?
㫜你把那纱窗快打开, 依啦啦快打开,
请你把那纱窗快打开, 依啦啦快打开,
依啦啦快打开, 再把你那玫瑰摘一朵,
依啦啦快打开, 再杝你陆玫瑰摘一一朵，
轻軾地扐扐来。 轻轻地捃東。
桳轻地㭁 粌。 轻轻地扔下来。
作品介绍
半半个月亮壬上上来是是一首维吾尔族民歌, 以级进、回绕的旋律音调和平稳、㓢缓的节奏惀织了一愊优美、真贽、拎情的画面。
## 第五单元音乐故事(一)
梁山伯与祝英台
欣赏提示
## 音乐卡片
奏鸣曲式奏鸣曲式是奏鸣申主要东章常用的一种结构形式。它包含几个不同主题的呈示、 发展和再现，以及特定的谓性布局。通常由三个部分组成：旺示部、展开部、再现部
协奏曲协奏曲是指一件独奏东器与交响乐队协同演奏, 并显示其个性及技巧的一种大型器乐秐击。
引子 (长笛独奏)
(1) 爱情主题（小提琴独奏）
(2) 草桥结拜 (小提琴与大提琴对答)
共读共玩
（1）活泼的小快板主题
（2）跳荡、跃动的插部
结束部
（1）惋惜的慢板（小提琴独奏）
(2) 长亭惜别 (小提琴与大提琴再次对答)
展开部一— “抗婚”
(1) 惶惶不安的不祥征兆
(2) 铜管演奏严厉、凶暴的低音主题 (“封建势力”)
（3）由副部变化而来的 “抗婚” 音调
(4) 楼台会 (小提琴与大提琴最后一次对答)
（5）哭灵投坟
自由地
再现―“化蝶”
引子长笛华彩及呈示部爱情主题重现。
化蝶
中速优美地
根据提琴协奏曲 《梁山伯与祝英台》改编唃肃填词
1.碧草青青花盛开, 彩蝶双双
2.同窗共读整三载，促膝并肩
3.楼台 - 别恨如海, 泪染双翅身化新媟
$$
\begin{aligned}
& \text { 久徘徊, 千古传颂深深爱, } \\
& \text { 两无猜, 十八相送情切切, } \\
& \text { 㮼房花丛来， 历尽磨难真情在, }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { 山伯永恋祝英 } \\
& \text { 台。 } \\
& \text { 谁知一别在楼 } \\
& \text { 台。 } \\
& \text { 天长地久不分 }
\end{aligned}
$$
请在音乐中听琵琶 “讲述” 楚汉相争时期 “十面埋伏” 的故事。
十面埋伏
琵琶独奏
列营
吹打
排阵
作品介绍
《十面埋伏》采用我国传统器乐套曲的结构形式, 全曲由十三个有明确小标题的音乐段落组成：列营、吹打、点将、排阵、走队、埋伏、 鸡鸣山小战、九里山大战、项王败阵、乌江自刎、众军奏凯、诸将争功、 得胜回营。演奏中运用了琵琶的轮、扫、拂、绞弦等技法以充分表现出激烈的战争场面。
《长恨歌》选段
韦䎐章词 \\ 黃自曲
渔阳鼓鼓动地来
威武地
长安犯;
作品介绍
清唱剧长恨歌是韦朝章、黄自根据白居易同名诗篇创作可成,
合唱，表现艸对帝王只爱美人䣩酒、不爱江山的激㤨之恃慗鼓是古代军中的小鼓岕在虚无综䏧间为第八乐章, 是一首女声三部合唱，表现了原诗“昭阳殿里国爱绝, 茖莱宫中日月长”的虚幻
欣赏提示
完整欣常这两段合唱。
练一练
随音乐啍唱以上主旋律。
山在虚无缥纱间
行板
## 第六单元 夏日情怀
夏日泛舟海上
充满活力地
[意]威尔第原曲
[英]费里斯填词外映易译配
海面起微波, 清, 风在拂扬,
船桨齐飞动, 快划到海中央,
就像对我们说快消除忧伤，
我们心心相连, 一切衰怨消尽,
我们心心相连, 切哀怨消尽,
我们心心相连, 一切衰怨消尽,
学练提示
- 注意唱准歌曲中的跳音、重音、延长音、三连音等记昊口住党
夏夜
小提琴独奏
杨善乐曲
A段主题：幽静的夜晩, 墨蓝的天宇, 多么惬意的夏夜呀….
抒情地
B段主题：夜晩的田野里，晩风吹拂着面颊，远处似乎还有虫儿在欢快地唱着歌。
欢快地
聆听与思考
这个小提琴作品采用了中国湖南花鼓戏的音乐素材。
彩云追月
民乐吕奏
行板
任光曲
聆听与思考
聆听音乐, 该主题旋律出现了几次? 分别由哪几种乐器主奏?
拓展练习
请寻找符合此曲意境的诗诃琪人主题旋律中唱一唱。
$$
\text { 六月一船歌 }
$$
一选自钢琴组曲《四季》
【俄〕柴可夫斯基曲
第一段：悠长的旋律使人联想到在夏夜的湖面上,一叶小舟轻轻荡漾。
第二段: 第一主题轻快活泼。
第二主题富有动力感。
聆听与思考
-第一段音乐和第二段音乐让你联想到了怎样的画面？是什么引起你的联想?
练一练
- 随音乐哼唱第一段主题。
## 音乐卡片
组曲组曲又称 “连曲”, 是器东套曲体裁之一, 由各具相对独立性的若干乐由或东章组成, 可分为古典组由和现代组由
夏日里最后一朵玫瑰
爱尔兰民歌
【英〕托玛斯 • 摩尔词   周枫、戴翔晓译配
夏日里最后一朵玫瑰, 独自幽然开放; 她那
些可爱的姐妺, 早已不在枝头上。 再也
没有一朵蓓電, 终日陪在她身旁, 去映
照她的红荦, 一同叹息忱伤。
美丽的梦神
中速
[美] S. 福斯特曲
乐理知识
我的音乐
音阶
音乐作品中的音, 按一定的数目及音程关系在八度之内排列起来的序列, 叫作音阶。音阶中相邻音之间的高低距离有半音和全音两种，一个全音相当于两个半音。
调式
在有一定音程关系的乐音中, 以其中一个音为主音（稳定音）, 其他音倾向于主音，这个体系叫作调式。
音阶各音由低向高排列叫作上行, 由高向低排列叫作下行。 如: 大调音阶。
调、调号
调式中主音的音高位置叫作调。标记调的记号叫作调号。如在五线谱中, 一个升号调为G大调,一个降号调为F大调。
大调音阶
由 “do” 到“do”” 按高低顺序排列起来的七个音叫作大调音阶。大调音阶中, 除 “mifa” “si-do"” 两组音之间为小二度外, 其他相邻两音之间均为大二度。
大调式
指大调音阶的调式关系。它以 “do”为主音,从从“do”到上方第三级音 “mi”之间的距离为两个全音 (大三度) , 具有比较明亮的特点。键盘上的任何一个音都可以作为主音而构成一个大调式, 如C大调就是以C为主音。
小调音阶
由 “la,”到 “la”按高低顺序排列起来的七个音叫作小调音阶。自然小调音阶中, 除 “si,-do” “mi-fa”两组音之间为小二度外，其他相邻两音之间均为大二度。
小调式
指小调音阶的调式关系。它以 “la”为主音，从“la,”到上方第三级音 “do”之间的距离是一个半全音 (小三度) , 具有比较柔和、暗淡的特点。键盘上的任何一个音均可以作为主音构成一个小调式, 如a小调就是以a为主音。
a小调音阶
G大调唱名位置
五线谱中，G大调的含义是将 “do”唱（奏）成 G音那样高, G大调的唱名在键盘上的位置如下图:
首调唱名法
首调唱名法, 即不同调式音阶的唱名在键盘上的位置, 随着 “do” 位置的变化而相对移动（音高变化，唱名不变）。现以G大调、C大调为例：
乐器常识
中国古代乐器
发声练习
1. 呼吸（急吸急呼）练习
练习提示：注意气息的控制, 有弹性地发声。
2. 哼唱练习
练习提示：用气息将声音有控制地弱送、强收、强送、弱收。
3. 连音练习
练习提示：要像唱一个音那样连贯。
4. 跳音练习
练习提示：注意声竟要集中、有弹性。
5. 灵活快速的练习
啦啦啦啦唯啦墡啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦
练习提示: 注意口腔要放松打开, 舌尖轻松、灵活地弹动。
视唱
1.
欢论地
《土风舞》捷克民歌
2.
中速优美地
《庇》蒙古族民歌
3、中连
《巴黎浪漫曲》[法]约瑟夫・柯斯玛曲
学习测评
一、聆听音乐, 说出曲名
1.
2.
3.
4.
5.
二、填空题
1. 我国迄今为止发现的数量最多、保存最好、音律最全、气势最宏伟的一套编钟是
2. 我国迄今为止发现的最古老的实物乐器是
3. 京剧四大名旦分别是
4. 欧洲音乐古典乐派的代表人物有等榚的
5. 弦乐四重奏是由两把和一把组合而成的室内乐形式。
6. 马头琴是族的乐器。
7. 传统京剧文场伴奏乐器有
三、连线题
1. 将下面的音乐作品与作曲家一一对应起来。
《英雄凯旋歌》
巴赫
《G弦上的咏叹调》
海顿
《小夜由》
亨徳尔
《c小调第五（命运）交响由》
贝多芬
《g小调第四十交响曲》
莫扎特
2. 聆听音乐, 将唱段名称与音乐作品名称一一对应起来。
《海岛冰轮初转腾》
《智取威虎山》
《我正在城楼观山景》
(《贵妃髇酒)
《儿行千里母担忧》
《沙家浜》
《游园惊梦》
《牡丹亭》
《智 $⿶ 十 ⺀ 一$ 》
《空城计》
(打虎上山》
《家店》 四、婷晿以下旋律, 写出曲名
五、写出下列乐器的名称
六、探究
传统京剧与现代京剧主要有哪些区别?
学习测评
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一、聆听音乐, 说出曲名
1.
2.
3.
4.
5.
二、填空题
1. 我国迄今为止发现的数量最多、保存最好、音律最全、气势最宏伟的一套编钟是
2. 我国迄今为止发现的最古老的实物乐器是
3. 京剧四大名旦分别是
4. 欧洲音乐古典乐派的代表人物有等榚的
5. 弦乐四重奏是由两把和一把组合而成的室内乐形式。
6. 马头琴是族的乐器。
7. 传统京剧文场伴奏乐器有
三、连线题
1. 将下面的音乐作品与作曲家一一对应起来。
《英雄凯旋歌》
巴赫
《G弦上的咏叹调》
海顿
《小夜由》
亨徳尔
《c小调第五（命运）交响由》
贝多芬
《g小调第四十交响曲》
莫扎特
2. 聆听音乐, 将唱段名称与音乐作品名称一一对应起来。
《海岛冰轮初转腾》
《智取威虎山》
《我正在城楼观山景》
(《贵妃髇酒)
《儿行千里母担忧》
《沙家浜》
《游园惊梦》
《牡丹亭》
《智》
《空城计》
(打虎上山》
《家店》 四、婷晿以下旋律, 写出曲名
五、写出下列乐器的名称
六、探究
传统京剧与现代京剧主要有哪些区别?
二、填空题
1. 我国迄今为止发现的数量最多、保存最好、音律最全、气势最宏伟的一套编钟是
2. 我国迄今为止发现的最古老的实物乐器是
3. 京剧四大名旦分别是
4. 欧洲音乐古典乐派的代表人物有等榚的
5. 弦乐四重奏是由两把和一把组合而成的室内乐形式。
6. 马头琴是族的乐器。
7. 传统京剧文场伴奏乐器有
三、连线题
1. 将下面的音乐作品与作曲家一一对应起来。
《英雄凯旋歌》
巴赫
《G弦上的咏叹调》
海顿
《小夜由》
亨徳尔
《c小调第五（命运）交响由》
贝多芬
《g小调第四十交响曲》
莫扎特
2. 聆听音乐, 将唱段名称与音乐作品名称一一对应起来。
《海岛冰轮初转腾》
《智取威虎山》
《我正在城楼观山景》
(《贵妃髇酒)
《儿行千里母担忧》
《沙家浜》
《游园惊梦》
《牡丹亭》
《智 $⿶ 十 ⺀ 一$ 》
《空城计》
(打虎上山》
《家店》
四、哼唱以下旋律, 写出曲名
五、写出下列乐器的名称
六、探究
传统京剧与现代京剧主要有哪些区别?